Chủ đề này có 8 trả lời

[vuive97]

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k+3 (k là số nguyên dương)

[nguyenta98]

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k+3 (k là số nguyên dương)

Giải như sau:
Giả sử tồn tại hữu hạn số nguyên tố có dạng $4k+3$
Do đó các số nguyên tố có dạng $4k+3$ là $p_1,p_2,...,p_n$ với $p_1<p_2<...<p_n$ và thấy có số nguyên tố $4k+3$ nên $p_i$ khác rỗng
Ta xét $A=2.p_1.p_2...p_n+1$
Thấy $p_1.p_2...p_n$ lẻ (do $p_i$ nguyên tố $4k+3$)
Suy ra $A \equiv 3 \pmod{4}$
TH1: $A$ nguyên tố suy ra $A>p_n$ mà $A \equiv 3 \pmod{4}$ vô lý với giả sử nên có $đpcm$
TH2: $A$ là hợp số suy ra trong các ước nguyên tố của $A$ phải có ít nhất một ước nguyên tố chia $4$ dư $3$ vì nếu toàn chia $4$ dư $1$ thì $A$ chia $4$ dư $1$ suy ra vô lý suy ra tồn tại $A \vdots p_{n+1}$ với $p_{n+1} \equiv 3 \pmod{4}$
Dễ thấy $p_{n+1}>p_n$ vì nếu $p_{n+1}\le p_n$ suy ra $2.p_1.p_2...p_n \vdots p_{n+1} \Rightarrow 1\vdots p_{n+1}$ vô lý
Do đó $p_{n+1}>p_n$ mâu thuẫn điều giả sử suy ra $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-08-2012 - 22:12

[nth1235]

Một cách làm khác :
Giả sử có hữu hạn số nguyên tố có dạng $4k + 3$ là $p_1;p_2;p_3;...;p_n$.
Xét số $q = 4p_1.p_2....p_n + 3$
Hiển nhiên $q$ không chia hết cho 4 và không chia hết cho 3.
Do đó, $q$ có ít nhất một ước nguyên tố $p = 4m + 3$ (chỗ này cm tương tự bạn kia). Do đó, tồn tại $i$ thuộc ${1,2,3,...,n}$ sao cho $ p = p_i$.
Vậy $4.p_1.p_2...p_n$ chia hết cho $p$ mà $q$ chia hết cho $p$ nên 3 chia hết cho $p$. Vì $p$ là số nguyên tố nên $p = 3$, mâu thuẫn (Do $q$ không chia hết cho 3).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nth1235: 08-08-2012 - 20:10

[chauvo122]

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k+3 (k là số nguyên dương)

Không thể chứng minh được đề tài trên vì:
Số nguyên tố -3 không chia hết cho 4 và
với 1 số nguyên dương k và 4k+3 không phải là số nguyên tố

Túm lại giả thuyết trên gọi là " tào lao"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chauvo122: 29-10-2012 - 11:53

[ilovelife]

----
Nhiều cách chứng minh:
http://vietgov.asia/so-nguyen-to_50
http://math.vn/showt...ố-số-ng-tố-4k-3
http://vuon-toan.blo...ulo-phan-4.html

[Tuthanngaonghe]

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k+3 (k là số nguyên dương)

Mọi người xem giải như thế này có hợp lý không:

 

Giả sử có tập số nguyên tố có dang $4k-1$ là hữu hạn là ${p{1};p{2};p{3};...;p{n}}$

 

Ta đặt: $P=p{1}.p{2}.....p{n}$

 

Xét: $A=4P-1$ có: $A>p{n}\Rightarrow A là hợp số$

 

Do đó  $\exists d \epsilon  {p{1};p{2};...;p{n}} sao cho A\vdots d$

 

Mà $P\vdots d \Rightarrow 1\vdots d$ (vô lý)

 

Vậy ta suy ra điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuthanngaonghe: 15-08-2014 - 20:50

[Tuthanngaonghe]

Mọi người xem giải như thế này có hợp lý không:

 

Giả sử có tập số nguyên tố có dang $4k-1$ là hữu hạn là ${p{1};p{2};p{3};...;p{n}}$

 

Ta đặt: $P=p{1}.p{2}.....p{n}$

 

Xét: $A=4P-1$ có: $A>p{n}\Rightarrow A là hợp số$

 

Do đó $\exists d\epsilon {p{1};p{2};...;p{n}}$A\vdots d$

 

Mà $P\vdots d \Rightarrow 1\vdots d$ (vô lý)

 

Vậy ta suy ra điều phải chứng minh.

[tunglamlqddb]

Mọi người xem giải như thế này có hợp lý không:
 
Giả sử có tập số nguyên tố có dang $4k-1$ là hữu hạn là ${p{1};p{2};p{3};...;p{n}}$
 
Ta đặt: $P=p{1}.p{2}.....p{n}$
 
Xét: $A=4P-1$ có: $A>p{n}\Rightarrow A là hợp số$
 
Do đó  $\exists d \epsilon  {p{1};p{2};...;p{n}} sao cho A\vdots d$
 
Mà $P\vdots d \Rightarrow 1\vdots d$ (vô lý)
 
Vậy ta suy ra điều phải chứng minh.

Mọi người xem giải như thế này có hợp lý không:
 
Giả sử có tập số nguyên tố có dang $4k-1$ là hữu hạn là ${p{1};p{2};p{3};...;p{n}}$
 
Ta đặt: $P=p{1}.p{2}.....p{n}$
 
Xét: $A=4P-1$ có: $A>p{n}\Rightarrow A là hợp số$
 
Do đó  $\exists d \epsilon  {p{1};p{2};...;p{n}} sao cho A\vdots d$
 
Mà $P\vdots d \Rightarrow 1\vdots d$ (vô lý)
 
Vậy ta suy ra điều phải chứng minh.

Cai cho ton tai d thuoc tap hop day sao lai suy ra duoc the ban?

[UphluMuach]

Cho minh hỏi, có bạn nào biết cách CM định lý Dirichlet tổng quát về cấp số cộng không: Cho $(a; d)=1$. CM: trong cấp số cộng có số hạng đầu $a$ và công sai $d$, tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Xin cảm ơn rất nhiều.