Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Cho $x,y>0$,CMR $\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$

tặng anh họ

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:Shironeko:x

Đã gửi 09-08-2012 - 07:59

Cho $x,y>0$, chứng minh rằng:

$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$

(Đề thi đề nghị Olympic $30-4$ lần V năm $1999$)

Hình đã gửi


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 23-12-2015 - 12:19

Cho $x,y>0$, chứng minh rằng:

$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$

(Đề thi đề nghị Olympic $30-4$ lần V năm $1999$)

Mệnh đề cần chứng minh tương đương với :

$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}> \frac{1998^x}{1998^y}+\frac{2000^x}{2000^y}$

$\Leftrightarrow 2000^x\left ( \frac{1}{1997^y}-\frac{1}{2000^y} \right )> 1998^x\left ( \frac{1}{1998^y}-\frac{1}{2001^y} \right )$ (*)

Ta chỉ cần chứng minh mệnh đề (*).

Vì $x> 0$ nên ta có : $2000^x> 1998^x> 0$ (1)

Mặt khác vì $y> 0$ và $0< \frac{1997}{2000}< \frac{1998}{2001}< 1$ nên :

$\frac{1}{1997^y}> \frac{1}{2000^y}> 0$ (2)

Và $1-\left ( \frac{1997}{2000} \right )^y> 1-\left ( \frac{1998}{2001} \right )^y> 0$ (3)

(1),(2),(3) $\Rightarrow 2000^x.\frac{1}{1997^y}.\left [ 1-\left ( \frac{1997}{2000} \right )^y \right ]> 1998^x.\frac{1}{1998^y}.\left [ 1-\left ( \frac{1998}{2001} \right )^y \right ] \Rightarrow$ (*)

Bài toán được chứng minh xong.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-12-2015 - 13:54

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh