Cho $x,y>0$,CMR $\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$
#1
Đã gửi 09-08-2012 - 07:59
$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$
(Đề thi đề nghị Olympic $30-4$ lần V năm $1999$)
- E. Galois, Tham Lang và WhjteShadow thích
#2
Đã gửi 23-12-2015 - 12:19
Cho $x,y>0$, chứng minh rằng:
$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$
(Đề thi đề nghị Olympic $30-4$ lần V năm $1999$)
Mệnh đề cần chứng minh tương đương với :
$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}> \frac{1998^x}{1998^y}+\frac{2000^x}{2000^y}$
$\Leftrightarrow 2000^x\left ( \frac{1}{1997^y}-\frac{1}{2000^y} \right )> 1998^x\left ( \frac{1}{1998^y}-\frac{1}{2001^y} \right )$ (*)
Ta chỉ cần chứng minh mệnh đề (*).
Vì $x> 0$ nên ta có : $2000^x> 1998^x> 0$ (1)
Mặt khác vì $y> 0$ và $0< \frac{1997}{2000}< \frac{1998}{2001}< 1$ nên :
$\frac{1}{1997^y}> \frac{1}{2000^y}> 0$ (2)
Và $1-\left ( \frac{1997}{2000} \right )^y> 1-\left ( \frac{1998}{2001} \right )^y> 0$ (3)
(1),(2),(3) $\Rightarrow 2000^x.\frac{1}{1997^y}.\left [ 1-\left ( \frac{1997}{2000} \right )^y \right ]> 1998^x.\frac{1}{1998^y}.\left [ 1-\left ( \frac{1998}{2001} \right )^y \right ] \Rightarrow$ (*)
Bài toán được chứng minh xong.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-12-2015 - 13:54
- bacdaptrai, tuananh2000 và phamngochung9a thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh