Chủ đề này có 3 trả lời

[davildark]

Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương và $a+b+c=3$ chứng minh bất đẳng thức sau
$$\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a} \le 1$$
Bài 2 Cho a,b,c là các số dương Chứng minh
$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$

[triethuynhmath]

Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương và $a+b+c=3$ chứng minh bất đẳng thức sau
$$\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a} \le 1$$
Bài 2 Cho a,b,c là các số dương Chứng minh
$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$

Làm bài 2:
Áp dụng Cauchy 2 số,ta có :
$\frac{2ab}{c^2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{ab}{c^2}+\frac{a}{b}+\frac{ab}{c^2}+\frac{b}{a}\geq \frac{2a}{c}+\frac{2b}{c}$
Tương tự,ta có :
$\frac{2bc}{a^2}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq \frac{2b}{a}+\frac{2c}{a}$
$\frac{2ca}{b^2}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{2a}{b}+\frac{2c}{b}$
Cộng vế theo vế ta được :
$\sum \frac{2ab}{c^2}\geq \sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}=\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}$
Chia 2 xuống,có ngay đpcm $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 09-08-2012 - 13:39

[nthoangcute]

Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương và $a+b+c=3$ chứng minh bất đẳng thức sau
$$\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a} \le 1$$

Chém bài 1 nhanh:
Áp dụng UTC ta có:
$\frac{a^2b}{2a+b} \leq \frac{a^2+2ab}{9} \Leftrightarrow \frac{-2a(a-b)^2}{9(2a+b)} \geq 0$ luôn đúng
Suy ra $\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}\leq \frac{(a+b+c)^2}{9}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-08-2012 - 13:51

[ninhxa]

Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương và $a+b+c=3$ chứng minh bất đẳng thức sau
$$\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a} \le 1$$

-Để tìm ra bất đẳng thức phụ kia có thể dùng Cauchy-Shwarz:
$\frac{a^2b}{2a+b}=\frac{a^2b}{9}.\frac{9}{a+a+b}\leq \frac{a^2b}{9}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{a^2+2ab}{9}$