Chủ đề này có 10 trả lời

[thangthaolinhdat]

1. Cho a,b,c >0 và a+b+c$\leq 1$ , tìm gtnn của :
A$= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
B $= \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
2.Cho a,b,c là các số dương . Tìm GTNN của
$Q= \frac{\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$
3. Cho a,b,c>0 ; CMR:$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

[henry0905]

1. Cho a,b,c >0 và a+b+c$\leq 1$ , tìm gtnn của :
A$= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

$\Rightarrow 0< a,b,c\leq 1$
$\Rightarrow a\geq a^{2}$
$\Rightarrow a+b+c\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}\geq 1$
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 9$
$\Rightarrow A\geq 10$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 09-08-2012 - 14:50

[sieutoan99]

$\Rightarrow 0< a,b,c\leq 1$
$\Rightarrow a\geq a^{2}$
$\Rightarrow a+b+c\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}\geq 1$
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 9$
$\Rightarrow A\geq 10$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

nếu a=b=c=1/3 thì A=30 chứ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieutoan99: 09-08-2012 - 14:54

[Crystal]

Bài 1 xem tại đây.

[henry0905]

1. Cho a,b,c >0 và a+b+c$\leq 1$ , tìm gtnn của :
B $= \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

$B=\sum \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ac}+\frac{1}{2ac}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2bc}\geq \frac{81}{(a+b+c)^{2}+3(ab+ac+bc)}\geq \frac{81}{2}$
P/s: Việt làm vội quá nên xét sai dấu = rồi kìa (mình cũng vậy, mới sửa).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 09-08-2012 - 15:22

[nthoangcute]

1. Cho a,b,c >0 và a+b+c$\leq 1$ , tìm gtnn của :
$A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$B= \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

a) $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ca}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ca}$
$\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2abc}$
$\geq 30$
$A_{min}=30$ khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
b) $B= \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$\geq \frac{16}{(a+b+c)^2}=16$
___________
P/s: Post chậm !

[triethuynhmath]

1. Cho a,b,c >0 và a+b+c$\leq 1$ , tìm gtnn của :
A$= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
B $= \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
2.Cho a,b,c là các số dương . Tìm GTNN của
$Q= \frac{\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$
3. Cho a,b,c>0 ; CMR:$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

1A
$A\geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2(ab+bc+ca)}+\frac{7}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{21}{(a+b+c)^2}\geq 21+9=30(Q.E.D)$

[Crystal]

2.Cho a,b,c là các số dương . Tìm GTNN của
$Q= \frac{\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$

Hướng dẫn:

Chứng minh: \[\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}}} + \sqrt {\frac{{{b^3}}}{{{c^3}}}} + \sqrt {\frac{{{c^3}}}{{{a^3}}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\]
Từ đó suy ra: $Q \ge 1 \Rightarrow \min Q = 1 \Leftrightarrow a = b = c$

[triethuynhmath]

1. Cho a,b,c >0 và a+b+c$\leq 1$ , tìm gtnn của :
A$= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
B $= \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
2.Cho a,b,c là các số dương . Tìm GTNN của
$Q= \frac{\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$
3. Cho a,b,c>0 ; CMR:$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

Chém bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số,ta có :
$2\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+1=\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+1\geq 3\frac{a}{b}$
Thiết lập các BĐT tương tự,cộng vế theo vế ta có :
$2\sum \sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+3\geq 3\sum \frac{a}{b}$
Mà :
$\sum \sqrt{\frac{a^3}{b^3}}\geq 3(Cauchy)$
Nên :
$3\sum \sqrt{\frac{a^3}{b^3}}\geq 3+2\sum \sqrt{\frac{a^3}{b^3}}\geq 3\sum \frac{a}{b}\Rightarrow\frac{\sum \sqrt{\frac{a^3}{b^3}}}{\sum \frac{a}{b}}\geq 1(Q.E.D)$

[Crystal]

3. Cho a,b,c>0 ; CMR:$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

Đây là IMO 2001!

Và một lời giải.

Đặt $x=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}; y=\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}; z=\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}$ thì ta có:
$$\frac{1}{x^2}-1=\frac{8bc}{a^2}\,;\frac{1}{y^2}-1=\frac{8ca}{b^2}\,;\frac{1}{z^2}-1=\frac{8ab}{c^2}$$
Suy ra $(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)=8^3\,\,\,\, (1)$
Giả sử $S=x+y+z<1$ thì
$$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \,\,\,\,(2)$$
Mặt khác ta sẽ chứng minh
$$(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \geq 8^3\,\,\,\,(3)$$
Thật vậy ta có:
$$(S-x)(S-y)(S-z)=(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz (AM-GM) \,\,\,\,(4)$$
$$(S+x)(S+y)(S+z)=((x+y)+(y+z))(...)(....) \geq 8(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8^2(xyz)\,\,\,\,\,(5)$$
Nhân từng vế $(4)$ và $(5)$ ta thu được $(3)$.

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra:
$$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>8^3$$
Mâu thuẫn với $(1)$. Vậy điều giả sử là sai và ta có $S \geq 1$ (đpcm).

-----
1 - Một lời giải mình đọc được.

2 - Còn nhiều cách cho bài này.

[Nguyễn Hữu Huy]

Đây là IMO 2001!

Và một lời giải.

Đặt $x=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}; y=\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}; z=\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}$ thì ta có:
$$\frac{1}{x^2}-1=\frac{8bc}{a^2}\,;\frac{1}{y^2}-1=\frac{8ca}{b^2}\,;\frac{1}{z^2}-1=\frac{8ab}{c^2}$$
Suy ra $(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)=8^3\,\,\,\, (1)$
Giả sử $S=x+y+z<1$ thì
$$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \,\,\,\,(2)$$
Mặt khác ta sẽ chứng minh
$$(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \geq 8^3\,\,\,\,(3)$$
Thật vậy ta có:
$$(S-x)(S-y)(S-z)=(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz (AM-GM) \,\,\,\,(4)$$
$$(S+x)(S+y)(S+z)=((x+y)+(y+z))(...)(....) \geq 8(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8^2(xyz)\,\,\,\,\,(5)$$
Nhân từng vế $(4)$ và $(5)$ ta thu được $(3)$.

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra:
$$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>8^3$$
Mâu thuẫn với $(1)$. Vậy điều giả sử là sai và ta có $S \geq 1$ (đpcm).

-----
1 - Một lời giải mình đọc được.

2 - Còn nhiều cách cho bài này.

theo holder thì
$VT^2[\sum a(a^2 + 8bc)] \geq (a + b + c)^3$
Chỉ cần cm
$\sum a(a^2 + 8bc) \leq (a + b + c)^3$

$\Leftrightarrow 3(a +b)(b +c)(c +a) \geq 24abc$ (đúng theo AM-GM)