Chủ đề này có 4 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán: Cho đa thức $P\left ( x \right )$ với hệ số nguyên. Biết rằng $P\left ( x \right )$ nhận giá trị bằng $1$ với $6$ giá trị nguyên phân biệt của $x$. Tìm các giá trị của $x$ để $P\left ( x \right )=2002$.

[nthoangcute]

Bài toán: Cho đa thức $P\left ( x \right )$ với hệ số nguyên. Biết rằng $P\left ( x \right )$ nhận giá trị bằng $1$ với $6$ giá trị nguyên phân biệt của $x$. Tìm các giá trị của $x$ để $P\left ( x \right )=2002$.

Từ giả thiết ta có:
$P(x)=((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)-1)G(x)$
Vậy $P(x)=2002$ khi và chỉ khi:
$((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)-1)G(x)=2002$
Suy ra $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)-1 \in \{\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 11,\pm 13,\pm 14,\pm 22,\pm 26,\pm 77,\pm 91,\pm 143,\pm 154,\pm 182,\pm 286,\pm 1001,\pm 2002 \}$
Hay $a_1a_2a_3a_4a_5a_6-1 \in
\{\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 11,\pm 13,\pm 14,\pm 22,\pm 26,\pm 77,\pm 91,\pm 143,\pm 154,\pm 182,\pm 286,\pm 1001,\pm 2002 \}$
với $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ nguyên và phân biệt
Do đây là phương trình nghiệm nguyên !
Giả sử có số $k$ trong tập hợp trên, khi đó $a_1a_2a_3a_4a_5a_6=k+1$
Mà $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ nguyên và phân biệt
Suy ra $k+1$ khi phân tích thành thừa số thì phải có ít nhất 4 nhân tử khác 1 và -1 !
Chỉ có duy nhất một số trong tập hợp trên thỏa mãn là $k=-1001$ thôi (thử là biết)
Suy ra $P(x)=-1001G(x)$
Suy ra $G(x)=-2$ với mọi $x$
Nhưng do tồn tại $x=x_1$ để $P(x)=1$ hay $G(x)=-\frac{1}{1001}$
Từ đó suy ra vô lý
__________________________________________
P/s: Tôi nhớ đề là khác cơ, bởi vì chính bài này đã hạ nhục tôi !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-08-2012 - 16:23

[L Lawliet]

P/s: Tôi nhớ đề là khác cơ, bởi vì chính bài này đã hạ nhục tôi !

Spam xí: Đề này đúng mà @@ nguyên văn từng dấu câu luôn @@

[nthoangcute]

Spam xí: Đề này đúng mà @@ nguyên văn từng dấu câu luôn @@

Tớ nhớ không lầm là $P(x)$ bậc sáu mà ! (Để mất $G(x)$ đi)
Hôm đấy tớ cho thằng ngồi trên tớ chép bài này mà. Tớ chép lại nó câu hình, bị thầy giáo bắt được ! Mệt !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-08-2012 - 16:35

[L Lawliet]

Tớ nhớ không lầm là $P(x)$ bậc sáu mà ! (Để mất $G(x)$ đi)
Hôm đấy tớ cho thằng ngồi trên tớ chép bài này mà. Tớ chép lại nó câu hình, bị thầy giáo bắt được ! Mệt !

Của tớ là chưa biết rõ $deg$ và cách giải của tớ là như vầy:
Giải:
Giả sử: $P\left ( x_1 \right )=P\left ( x_2 \right )=P\left ( x_3 \right )=P\left ( x_4 \right )=P\left ( x_5 \right )=P\left ( x_6 \right )=1$.
Xét đa thức $Q\left ( x \right )=P\left ( x \right )-1$. Khi đó $x_i\left ( i=\overline{1,6} \right )$ là nghiệm của $Q\left ( x \right )$.
Theo định lý $Bezout$ thì ta có:
$P\left ( x \right )=1+\sum_{i=1}^{6}\left ( x-x_i \right )R\left ( x \right )$
Trong đó $R\left ( x \right )$ là đa thức với hệ số nguyên.
Giả sử tồn tại $x_0$ nguyên thỏa $R\left ( x_0 \right )=2002$. Khi đó:
$2001=\sum_{i=1}^{6}\left ( x_0-x_i \right )R\left ( x_0 \right )$ $(*)$
Vì phân tích ra thừa số nguyên tố của $2001$ là $2001=3.23.29$ nên $2001$ phân tích được tối đa tích của $5$ số nguyên khác nhau $(**)$.
Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra không tồn tại $x_0$.
----
Biết thêm một cách mới

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 09-08-2012 - 17:16