Chủ đề này có 2 trả lời

[henry0905]

Cho $\triangle ABC$ đều tâm O, M bất kì trong $\triangle$. D,E,F là hình chiếu của M lên BC,CA,AB. Chứng minh: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

[cool hunter]

Cho $\triangle ABC$ đều tâm O, M bất kì trong $\triangle$. D,E,F là hình chiếu của M lên BC,CA,AB. Chứng minh: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

Gọi AA', BB', CC' là các đường cao tam giác ABC.
Kí hiệu: $S_{MBC}=S_{a}; S_{MCA}=S_{b};S_{MAB}=S_{c}$.
Ta có:
$S_{a}\overrightarrow{MA}+S_{b}\overrightarrow{MB}+S_{c}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} (1)$
Mặt khác, $\overrightarrow{MD}=\frac{MD}{AA'}\overrightarrow{AA'}=\frac{S_{a}}{S}\overrightarrow{AA'}=\frac{3}{2}.\frac{S_{a}}{S}\overrightarrow{AO} ***(vs S =S_{ABC})$.
Twong tự:
$\overrightarrow{ME}=\frac{3}{2}.\frac{S_{b}}{S}.\overrightarrow{BO};\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}.\frac{S_{c}}{S}.\overrightarrow{CO}$.
Suy ra:
$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2S}(S_{a}\overrightarrow{AO}+S_{b}\overrightarrow{BO}+S_{c}\overrightarrow{CO})=\frac{3}{2S}[S_{a}(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+S_{b}(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MB}+S_{c}(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MC})]=\frac{3}{2S}(S_{a}+S_{b}+S_{c})\overrightarrow{MO}-\frac{3}{2S}(S_{a}\overrightarrow{MA}+S_{b}\overrightarrow{MB}+S_{c}\overrightarrow{MC})=\frac{3}{2S}.S.\overrightarrow{MO}*(theo (1))*=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}*(đpcm)*$
Bài này còn 1 cách giải nữa, m.n thử xem

[nthoangcute]

Cho $\triangle ABC$ đều tâm O, M bất kì trong $\triangle$. D,E,F là hình chiếu của M lên BC,CA,AB. Chứng minh: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

Nhìn cái cách kia mà sợ !

Bài làm
Qua M kẻ $I_2I_5;I_1I_4;I_3I_6$ lần lượt song song $BC;AC;AB$
Ta có các tam giác $MI_5I_6;MI_1I_2;MI_3I_4$ là các tam giác đều.
Suy ra : $DI_3=DI_4; FI_1=FI_2;EI_5=EI_6$
Ta có: $\overrightarrow{MI_3}+\overrightarrow{MI_4}=2.\overrightarrow{MD}$
Tương tự: $\overrightarrow{MI_6}+\overrightarrow{MI_5}=2.\overrightarrow{ME}$
$\overrightarrow{MI_1}+\overrightarrow{MI_2}=2.\overrightarrow{MF}$
Cộng vế với vế ta có:
$$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}.(\overrightarrow{MI_6}+\overrightarrow{MI_5}+\overrightarrow{MI_3}+\overrightarrow{MI_4}+\overrightarrow{MI_1}+\overrightarrow{MI_2})$$
Nên: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$ (tính chất trọng tâm tam giác)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-08-2012 - 22:16