Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c>0 và abc=1. CMR: $\sum \frac{1}{a^2-a+1}\leq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Ninh

Đã gửi 09-08-2012 - 22:17

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\leq 3$

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#2 longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Công Nghệ Thông Tin - ĐHQG TPHCM

Đã gửi 09-08-2012 - 22:28

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\leq 3$


sử dụng $AM-GM$
$a^2+a+1\geq 3a$
$=>a^2-a+1\geq a$
$=>\frac{1}{a^2-a+1}\leq \frac{1}{a}$
tương tự rồi cộng lại => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longqnh: 09-08-2012 - 22:29

SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#3 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 09-08-2012 - 22:35

sử dụng $AM-GM$
$a^2+a+1\geq 3a$
$=>a^2-a+1\geq a$
$=>\frac{1}{a^2-a+1}\leq \frac{1}{a}$
tương tự rồi cộng lại => đpcm

Công lại ra $VT\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ rồi làm được gì tiếp nữa anh cauchy không được vì bị ngược dấu rồi?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 09-08-2012 - 22:35

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#4 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 09-08-2012 - 22:50

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\leq 3$

Lời giải của $Lil.Tee$ bên BM.Lời giải 1 dòng :)
$$\sum\limits_{cyc}{\frac{1}{{{a}^{2}}-a+1}}=\sum\limits_{cyc}{\frac{3({{a}^{2}}+1)}{2({{a}^{4}}+{{a}^{2}}+1)}}-\sum\limits_{cyc}{\frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}{2\left[ {{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}-{{a}^{2}} \right]}}\le \sum\limits_{cyc}{\frac{3({{a}^{2}}+1)}{2({{a}^{4}}+{{a}^{2}}+1)}}\overset{Vasc}{\mathop \le }\,3.$$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#5 o0o Math Lover o0o

o0o Math Lover o0o

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Hà Huy Tập
  • Sở thích:math

Đã gửi 10-08-2012 - 08:10

Lời giải của $Lil.Tee$ bên BM.Lời giải 1 dòng :)
$$\sum\limits_{cyc}{\frac{1}{{{a}^{2}}-a+1}}=\sum\limits_{cyc}{\frac{3({{a}^{2}}+1)}{2({{a}^{4}}+{{a}^{2}}+1)}}-\sum\limits_{cyc}{\frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}{2\left[ {{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}-{{a}^{2}} \right]}}\le \sum\limits_{cyc}{\frac{3({{a}^{2}}+1)}{2({{a}^{4}}+{{a}^{2}}+1)}}\overset{Vasc}{\mathop \le }\,3.$$


công thức này là... em không hiểu lắm anh giải thích dùm em :(

"Trên con đường đi đến thành công,


thì không có vết chân của kẻ làm biếng."



"Những thành quả đạt được trong tương lai,


là kết quả của việc học ngày hôm nay"


#6 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 10-08-2012 - 17:47

công thức này là... em không hiểu lắm anh giải thích dùm em :(


cái ông Lil.tee này làm màu thôi bạn:

Chúng ta luôn có BĐT của Vacs như sau:

$a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$ ta có:

\[\sum {\frac{1}{{1 + a + {a^2}}}} \ge 1\]

BĐT này tương đương với:


\[\frac{{1 + {a^k}}}{{1 + {a^k} + {a^{2k}}}} + \frac{{1 + {b^k}}}{{1 + {b^k} + {b^{2k}}}} + \frac{{1 + {c^k}}}{{1 + {c^k} + {c^{2k}}}} \le 2\]

thật vậy:

\[ineq \Leftrightarrow \sum {\frac{{{a^{2k}}}}{{1 + {a^k} + {a^{2k}}}} \ge 1} \]

\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{a^k}}} + \frac{1}{{{a^{2k}}}}}}} \ge 1\]

BĐT cuối là BĐT vacs bên trên ta nói.

Khi chứng minh các BĐT dang:

Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$ chứng minh rằng $f(a)+f(b)+f(c)\ge k$

Thì ta dùng pp hệ số bất định:

\[f(a) \ge k\frac{1}{{{a^{2m}} + {a^m} + 1}}\]
Đạo hàm hai vế và cho $a=1$ ta tìm được $m$. Đây chỉ là dự đoán, nên đôi khi có thể sai bạn ak`! Nhưng kinh nghiệm của bản thân tôi thì thấy bđt này khá chặt nên làm được khà nhiều bài, không tin bạn có thể thử?

Nếu BĐT dạng $f(a)+f(b)+f(c)\le k$

ta hệ số bất định:
\[f(a) \le \frac{k}{2}.\frac{{{a^m} + 1}}{{{a^{2m}} + {a^m} + 1}}\]

và cũng tìm $m$ như trên, và kiểm tra tính đúng của bđt. Nếu đúng thì xong luôn. không đúng thì ta tìm cách khác. :D

#7 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 10-08-2012 - 18:23

công thức này là... em không hiểu lắm anh giải thích dùm em :(

Dễ hiểu hon nhé : :icon6:
Ta có :
$4\geq \sum \frac{2(a^2+1)}{a^4+a^2+1}= \sum \frac{(a^2-a+1)+(a^2+a+1)}{(a^2-a+1)(a^2+a+1)}= \sum (\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{a^2+a+1})$
$\geq \sum \frac{1}{a^2-a+1}+1$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2-a+1}\leq 3$

#8 ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Ninh

Đã gửi 11-08-2012 - 14:53

Chúng ta luôn có BĐT của Vacs như sau:
$a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$ ta có:
\[\sum {\frac{1}{{1 + a + {a^2}}}} \ge 1\]

Anh chứng minh hộ em bdt này với.

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#9 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 11-08-2012 - 17:09

Anh chứng minh hộ em bdt này với.



Vì $xyz=1$ nên tồn tại $a;b;c>0$ thỏa mãn $x=\frac{bc}{a^2}$; $y=\frac{ca}{b^2}$; $z=\frac{ab}{c^2}$

Khi đó \[\frac{1}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{1}{{\frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^4}}} + \frac{{bc}}{{{a^2}}} + 1}} = \frac{{{a^4}}}{{{a^4} + {a^2}bc + {b^2}{c^2}}}\]

Hay \[LHS = \frac{{{a^4}}}{{{a^4} + {a^2}bc + {b^2}{c^2}}} + \frac{{{b^4}}}{{{b^4} + {b^2}ca + {c^2}{a^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{{c^4} + {c^2}ab + {a^2}{b^2}}} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{a^4} + {b^4} + {c^4} + {a^2}{b^ + }{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + abc\left( {a + b + c} \right)}} \ge 1\]

Thật vậy BĐT cuối

\[ \Leftrightarrow \left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) \ge abc\left( {a + b + c} \right)\]
BĐT này luôn đúng theo $AM-GM$

#10 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 11-08-2012 - 18:33

mình nghĩ ra 1 cách tuy hơi dài
BĐT cần cm tương đương vs
$\sum \left ( \frac{4}{3}-\frac{1}{a^{2}-a+1} \right )\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( 2a-1 \right )^{2}}{3\left ( a^{2}-a+1 \right )}\geq 1$
$VT\geq \frac{\left ( 2a+2b+2c-3 \right )^{2}}{3\sum a^{2}-3\sum a+9}\geq 1$
cần cm $4\sum a^{2}+8\sum ab-12\sum a\geq 3\sum a^{2}-3\sum a \Leftrightarrow \sum a^{2}+8\sum ab-9\sum a\geq 0$ (*)
mặt khác >:) $\left ( \sum ab \right )^{2}\geq 3abc\left ( \sum a \right ) \Leftrightarrow \sum ab\geq \sqrt{3}\sqrt{\sum a}$
VT(*)$\geq \left ( \sum a \right )^{2}+6\sqrt{3}\left ( \sqrt{}{\sum a} \right )$
$\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}+6\sqrt{3\sum a}\geq 9\sum a$
đặt $\sqrt{3\sum a}=t\Leftrightarrow t^{4}+54t\geq 27t^{2} \Leftrightarrow t^{3}+27+27\geq 27t$
suy ra Q.E.D :icon6:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh