Chủ đề này có 4 trả lời

[Albert einstein vip]

Chứng minh với mọi sô nguyên dương n thì :$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} < 3$

[Secrets In Inequalities VP]

Chứng minh với mọi sô nguyên dương n thì :$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} < 3$

Dùng khai triển Newton :
$VT= (1+\frac{1}{n})^{n}= \sum_{k=0}^{n}C^{k}.\frac{1}{n^k}$
$= 1+C^1_{n}.\frac{1}{n}+C^2_{n}.\frac{1}{n^2}+C^3_{n}.\frac{1}{n^3}+...+C^n_{n}.\frac{1}{n^n}$
$= 2+C^2_{n}.\frac{1}{n^2}+C^3_{n}.\frac{1}{n^3}+...+C^n_{n}.\frac{1}{n^n}$
Do đó ta cần CM :
$C^2_{n}.\frac{1}{n^2}+C^3_{n}.\frac{1}{n^3}+...+C^n_{n}.\frac{1}{n^n}< 1$
Xét $C^k_{n}.\frac{1}{n^k}= \frac{n!}{k!(n-k)!n^k}= \frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{n^k}.\frac{1}{k!}$
mà $(n-k+1)(n-k+2)...n< n^k$
$\Rightarrow C^k_{n}.\frac{1}{n^k}< \frac{1}{k!}< \frac{1}{k(k-1)}= \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
cho k chạy tù 2 đến n ta đc :
VT$< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...< 1$
$\Rightarrow Q.E.D$

[Math Is Love]

Dùng khai triển Newton :
$VT= (1+\frac{1}{n})^{n}= \sum_{k=0}^{n}C^{k}.\frac{1}{n^k}$
$= 1+C^1_{n}.\frac{1}{n}+C^2_{n}.\frac{1}{n^2}+C^3_{n}.\frac{1}{n^3}+...+C^n_{n}.\frac{1}{n^n}$
$= 2+C^2_{n}.\frac{1}{n^2}+C^3_{n}.\frac{1}{n^3}+...+C^n_{n}.\frac{1}{n^n}$
Do đó ta cần CM :
$C^2_{n}.\frac{1}{n^2}+C^3_{n}.\frac{1}{n^3}+...+C^n_{n}.\frac{1}{n^n}< 1$
Xét $C^k_{n}.\frac{1}{n^k}= \frac{n!}{k!(n-k)!n^k}= \frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{n^k}.\frac{1}{k!}$
mà $(n-k+1)(n-k+2)...n< n^k$
$\Rightarrow C^k_{n}.\frac{1}{n^k}< \frac{1}{k!}< \frac{1}{k(k-1)}= \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
cho k chạy tù 2 đến n ta đc :
VT$< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...< 1$
$\Rightarrow Q.E.D$

Bạn nên nhớ đây là Box THCS mà bạn

[Ispectorgadget]

Chứng minh với mọi sô nguyên dương n thì :$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} < 3$

Có thể làm thế này nữa
Lấy $Logarith nepe$ 2 vế
+ xét hàm số $f(n)=n.\ln(1+\frac{1}{n})$ với $n\geq 1$
$f'(n)=ln(1+\frac{1}{n})+n-1>0$
$\Rightarrow f(n)$ đồng biến với mọi $n\geq 1$
+ Do đó:
$f(n)\leq f(n+1) \Rightarrow (1+\frac{1}{n})^n\leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$
$\Rightarrow $dãy $(u_n) $là dãy tăng với$ u_n=(1+\frac{1}{n})^n$
$\Rightarrow u_n\leq \lim_{n\rightarrow +\propto }u_n=\epsilon <3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-08-2012 - 11:12

[trungdung97]

Bài toán sau đây là mở rộng : Cho k,n,nguyên dương và $k\leq n$ CMR $1+\frac{k}{n}\leq (1+\frac{1}{n})^{k}< 1+\frac{k}{n}+\frac{k^{2}}{n^{2}}$