Chủ đề này có 6 trả lời

[thanh131211]

Cho tam giác ABC, đường cao AH, trung tuyến AM có
\[\widehat{BAH} = \widehat{MAC}\]. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

[triethuynhmath]

Cho tam giác ABC, đường cao AH, trung tuyến AM có
\[\widehat{BAH} = \widehat{MAC}\]. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

Chém bài này :
Gọi F là trung điểm AC => MF là đường trung bình tam giác ABC $\Rightarrow MF//AB\Rightarrow \angle FMA=\angle MAB=\angle BAH+\angle MAH=\angle CAM+\angle MAH=\angle FAH$
Tam giác CAH vuông tại H trung tuyến HF $\Rightarrow HF=AF=CF=\frac{1}{2}AC\Rightarrow \angle FHA=\angle FAH=\angle FMA$
\Rightarrow MFAH$ nội tiếp
=> $\angle MFA=\angle MHA=90^0\Rightarrow MF\perp AB \Rightarrow AC \perp AB$ tại A(MF//AC)
$=> Q.E.D$

Tại sao từ cái đoạn $\Rightarrow \angle FMA=\angle MAB=\angle BAH+\angle MAH=\angle CAM+\angle MAH=\angle FAH\Rightarrow MFAH$ lại có thể kết luận tứ giác $AFMH$ nội tiếp được bạn?

Xin lỗi mình quên làm thiếu 1 ý mình đã sửa lại ở trên
Đây là hình :

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 10-08-2012 - 17:29

[L Lawliet]

Chém bài này :
Gọi F là trung điểm AC => MF là đường trung bình tam giác ABC $\Rightarrow MF//AB\Rightarrow \angle FMA=\angle MAB=\angle BAH+\angle MAH=\angle CAM+\angle MAH=\angle FAH\Rightarrow MFAH$ nội tiếp
=> $\angle MFA=\angle MHA=90^0\Rightarrow MF\perp AB \Rightarrow AC \perp AB$ tại A(MF//AC)
$=> Q.E.D$
Đây là hình :

Tại sao từ cái đoạn $\Rightarrow \angle FMA=\angle MAB=\angle BAH+\angle MAH=\angle CAM+\angle MAH=\angle FAH\Rightarrow MFAH$ lại có thể kết luận tứ giác $AFMH$ nội tiếp được bạn?

[L Lawliet]

chem vua thoi
cgung minh tg AFMH noi tiep nham roi
goi y cho anh em nhe
ve duong tron ngoai tiep tam giac ABC
chung minh cho BC la Duong kinh la xong
hix hix

bac nao can giai dap chi tiet thi nhan lai nhe
ok?

Không spam, viết tiếng Việt có dấu nếu không muốn bị ban nick!

[BlackSelena]

Bài này đúng chất là phải loại trường hợp tam giác cân ra bởi vì thế $AD \equiv AM$ và 2 góc vẫn bằng nhau.
Bài này mình hơi dã man một tí, sử dụng đường đẳng giác, đối trung mà mình đã nêu ra trong đây

Spoiler

* Đường đẳng giác: Cho góc $xOy$, ta nói 2 đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là đường đẳng giác trong góc nếu chúng cùng đi qua đỉnh $O$ là đối xứng với nhau qua tia phân giác của góc.
~> Chứng minh, ta nhắc đến tiêu chuẩn của một đường đẳng giác:
Tiêu chuẩn này gắn liền với định lý Steiner: Cho $\triangle ABC$ và 2 điểm $D,E$ trên cạnh $BC$. Khi đó, $AD$ và $AE$ là 2 đường đẳng giác của $\angle BAC$ khi vả chỉ khi:
$$\frac{BD}{DC} . \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}$$ (*)
- Chứng minh định lý này:

+ Phần thuận:
Giả sử $AD$ và $AE$ là 2 đường đẳng giác của $\angle BAC$ ta sẽ chứng minh đẳng thức (*) thỏa mãn. Thật vậy, ta có:
$\frac{BD}{DC} = \frac{S_{BAD}}{S_{DAC}} = \frac{AD.AB.\sin\angle BAD}{AD.AC.\sin\angle DAC} = \frac{AB}{AC}. \frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC}$
Tương tự, ta cũng có:
$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}.\frac{\sin\angle BAE}{\sin\angle EAC}$
Mặt khác, do $AD$ và $AE$ là 2 đường đẳng giác nên ta có:
$\angle BAD = \angle EAC; \angle DAC = \angle BAE$
Kết hợp những điều trên lại, ta có (*).
+Phần đảo: Giả sử thỏa mãn $AD$ và $AE$ thỏa (*). Vậy dựng đường đẳng giác $AD'$ của $AE$. Khi đó ta có hệ thức:
$\frac{BD'}{D'C}.\frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}$
Mà ta đã có (*) nên $\Rightarrow \frac{BD}{DC} = \frac{BD'}{D'C}$.
$\Rightarrow D \equiv D'$.
Vậy ta đã chứng minh xong định lý Steiner.
Giờ ta đi tiếp tới một khái niệm thứ 2
*Đường đối trung: là đường đẳng giác với trung tuyến và sẽ có tính chất như những cặp đường đẳng gicá khác.
Từ tiêu chuẩn của đưởng đẳng giác hay chính là định lý Steiner ta vừa chứng minh, dễ dàng suy ra tính chất của đường đối trung như sau
Cho $\triangle ABC$. Ta có $AD$ ($D \in BC$) là đường đối trung $\Leftrightarrow \frac{DB}{DC} = \frac{AB^2}{AC^2}$

Vậy từ 2 khái niệm này ta dễ thấy $AD$ là đường đối trung trong $\triangle ABC$.
$\Rightarrow \frac{HB}{HC} = \frac{AB^2}{AC^2}$
Sau đó thì chứng minh tương tự theo đây là orike

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 10-08-2012 - 23:22

[battlebrawler]

Nói ngược lại dc không ạ?
Giả sử $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ và $\Delta ABC$ có AH đcao, AM trung tuyến
=> $\widehat{BAH}=\widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$) (1)
$\widehat{MAC}=\widehat{ACB}$ (t/c trung tuyến ứng c/huyền) (2)
=> $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$
Loại trường hợp: $\widehat{BAC}\neq 90^{\circ}$ sẽ không dẫn đến trường hợp (1)(2)
=> Nếu $\Delta ABC$ có AH đcao, AM trung tuyến và $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$ khi và chỉ khi $\widehat{BAC}=90^{\circ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi battlebrawler: 11-08-2012 - 18:11

[BlackSelena]

Nói ngược lại dc không ạ?
Giả sử $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ và $\Delta ABC$ có AH đcao, AM trung tuyến
=> $\widehat{BAH}=\widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$) (1)
$\widehat{MAC}=\widehat{ACB}$ (t/c trung tuyến ứng c/huyền) (2)
=> $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$
Loại trường hợp: $\widehat{BAC}\neq 90^{\circ}$ sẽ không dẫn đến trường hợp (1)(2)
=> Nếu $\Delta ABC$ có AH đcao, AM trung tuyến và $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$ khi và chỉ khi $\widehat{BAC}=90^{\circ}$

Cái này không làm dễ vậy được đâu anh .
Em có 2 ví dụ thế này.
- Anh nghĩ thế nào về trường hợp tam giác cân.
Một ví dụ khác
a nguyên tố > 3 ~> a có dạng 6k+1 hoặc 6k + 5
Nhưng 6k+1 hoặc 6k+5 chắc gì đã là nguyên tố.