Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh
- - - - -

Xác định góc $\alpha$ giữa đường thẳng và tiếp tuyến sao cho $S_{\Delta ABC}$ lớn nhất.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-08-2012 - 18:43

Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.
cnt

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1076 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-03-2017 - 23:35

Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.

Chọn tâm $O$ của đường tròn làm gốc hệ trục tọa độ $Oxy$.Chọn tọa độ của $A$ là $(0;-1)$ ; của $T$ là $(-1;-1)$

Đường thẳng $d$ qua $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$ ($B$ nằm giữa $T$ và $C$)

Gọi hình chiếu của $B$ và $C$ trên $AT$ lần lượt là $P$ và $Q$.

$S_{ABC}=S_{ATC}-S_{ATB}=\frac{1}{2}AT.(CQ-BP)=\frac{1}{2}AT.BC.\sin\alpha$

Đường thẳng $d$ đi qua $T(-1;-1)$ và có hệ số góc $\tan\alpha$ nên có phương trình $(d):x\tan\alpha -y+\tan\alpha -1=0$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Chú ý rằng $0^o\leqslant \alpha \leqslant 90^o$ nên ta có :

$OM=\frac{\left | \tan\alpha -1 \right |}{\sqrt{\tan^2\alpha +1}}=\left | \sin\alpha -\cos\alpha \right |$

$BC=2\sqrt{OB^2-OM^2}=2\sqrt{1-(1-2\sin\alpha \cos\alpha )}=\sqrt{8\sin\alpha\cos\alpha }$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AT.BC.\sin\alpha =\frac{1}{2}\sqrt{8\sin^3\alpha \cos\alpha }=\sqrt{2\sin^3\alpha \cos\alpha }$

$S_{ABC}'=\frac{3\sin^2\alpha \cos^2\alpha -\sin^4\alpha }{\sqrt{2\sin^3\alpha \cos\alpha }}$

$S_{ABC}'=0\Leftrightarrow \alpha=60^o$

+ Khi $\alpha =0^o\Rightarrow S_{ABC}=0$

+ Khi $\alpha =60^o\Rightarrow S_{ABC}=\sqrt{2\sin^360^o\cos60^o}=\frac{\sqrt[4]{108}}{4}$

+ Khi $\alpha =90^o\Rightarrow S_{ABC}=0$

Vậy giá trị lớn nhất của $S_{ABC}$ là $\frac{\sqrt[4]{108}}{4}$ xảy ra khi $\alpha=60^o$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-03-2017 - 06:14

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh