Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Xác định góc $\alpha$ giữa đường thẳng và tiếp tuyến sao cho $S_{\Delta ABC}$ lớn nhất.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-08-2012 - 18:43

Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.
cnt

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1195 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-03-2017 - 23:35

Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.

Chọn tâm $O$ của đường tròn làm gốc hệ trục tọa độ $Oxy$.Chọn tọa độ của $A$ là $(0;-1)$ ; của $T$ là $(-1;-1)$

Đường thẳng $d$ qua $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$ ($B$ nằm giữa $T$ và $C$)

Gọi hình chiếu của $B$ và $C$ trên $AT$ lần lượt là $P$ và $Q$.

$S_{ABC}=S_{ATC}-S_{ATB}=\frac{1}{2}AT.(CQ-BP)=\frac{1}{2}AT.BC.\sin\alpha$

Đường thẳng $d$ đi qua $T(-1;-1)$ và có hệ số góc $\tan\alpha$ nên có phương trình $(d):x\tan\alpha -y+\tan\alpha -1=0$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Chú ý rằng $0^o\leqslant \alpha \leqslant 90^o$ nên ta có :

$OM=\frac{\left | \tan\alpha -1 \right |}{\sqrt{\tan^2\alpha +1}}=\left | \sin\alpha -\cos\alpha \right |$

$BC=2\sqrt{OB^2-OM^2}=2\sqrt{1-(1-2\sin\alpha \cos\alpha )}=\sqrt{8\sin\alpha\cos\alpha }$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AT.BC.\sin\alpha =\frac{1}{2}\sqrt{8\sin^3\alpha \cos\alpha }=\sqrt{2\sin^3\alpha \cos\alpha }$

$S_{ABC}'=\frac{3\sin^2\alpha \cos^2\alpha -\sin^4\alpha }{\sqrt{2\sin^3\alpha \cos\alpha }}$

$S_{ABC}'=0\Leftrightarrow \alpha=60^o$

+ Khi $\alpha =0^o\Rightarrow S_{ABC}=0$

+ Khi $\alpha =60^o\Rightarrow S_{ABC}=\sqrt{2\sin^360^o\cos60^o}=\frac{\sqrt[4]{108}}{4}$

+ Khi $\alpha =90^o\Rightarrow S_{ABC}=0$

Vậy giá trị lớn nhất của $S_{ABC}$ là $\frac{\sqrt[4]{108}}{4}$ xảy ra khi $\alpha=60^o$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-03-2017 - 06:14

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh