Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: đường thằng qua $M$ và trung điểm của $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động trên $BC$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
Cho $\Delta ABC$ đều, $M$ di động trên $BC$. $P, Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB, AC$. CMR: đường thằng qua $M$ và trung điểm của $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động trên $BC$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ đều, $M$ di động trên $BC$. $P, Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB, AC$. CMR: đường thằng qua $M$ và trung điểm của $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động trên $BC$

Nhờ em BlackSelena đã tìm ra điểm cố định nên mình mới tìm ra cách giải bài này :)
Gọi O là tâm tam giác ABC.Ta sẽ chứng minh MO đi qua F thì MF sẽ đi qua O cố định.Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.Ta có :
Ngũ giác A,Q,M,H,P nội tiếp đường tròn đường kính AM.Gọi I là tâm.
Có : $\angle HQP=\angle HAP=\angle HAQ=\angle HPQ=30^0$
=> HP=HQ.Vậy H là điểm chính giữa cung PQ.Mà $\angle PHQ=\angle PIQ=120^0$.Nên ta có các tam giác IQH,IHP đều => $IQ=QH=IH=IP=PH\Rightarrow IQHP$ là hình thoi.Mà F là trung điểm PQ nên F là trung điểm IH.
Vậy giờ ta cần chứng minh MO đi qua trung điểm IH.Lấy N đối xứng với M qua H.Ta có AH là trung tuyến tam giác AMN .2 tam giác AMN,ABC có cùng trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh nên chúng có cùng trọng tâm.Vậy O là trọng tâm tam giác AMN.Vậy cho MO cắt AN tại R ta có R là trung điểm AN.
Mặt khác IH là đường trung bình tam giác AMN => IH//AN.
Ta có MO đi qua trung điểm R của AN.Mà IH //AN,I thuộc AM,H thuộc MN => MO đi qua trung điểm F của IH. => M,F,O thẳng hàng.Vậy MF đi qua O cố định $Q.E.D$
A24.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 12-08-2012 - 10:57

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh