Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $MN$ $\leq$ Max{AB, BC, CA}


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 12-08-2012 - 17:10

Cho $\Delta ABC$; $M, N$ là hai điểm bất kì trong tam giác đó. CMR: $MN$ $\leq$ max{AB, BC, CA}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 13-08-2012 - 16:15


$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-08-2012 - 18:11

Cho $\Delta ABC$; $M, N$ là hai điểm bất kì trong tam giác đó. CMR: $MN$ $\leq$ $Max {AB, BC, CA}$

Mình không hiểu đề ở chỗ: $MN$ $\leq$ $Max {AB, BC, CA}$.
Chỗ này là thế nào nhỉ ?

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#3 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-08-2012 - 18:18

Mình không hiểu đề ở chỗ: $MN$ $\leq$ $Max {AB, BC, CA}$.
Chỗ này là thế nào nhỉ ?

Tức là $MN$ luôn $\leq$ tại các giá trị max của $AB,BC,CA$
Kí hiệu đúng ra phải là $MN \leq max\begin{Bmatrix}
AB,BC,CA
\end{Bmatrix}$
"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#4 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 12-08-2012 - 21:23

Cho $\Delta ABC$; $M, N$ là hai điểm bất kì trong tam giác đó. CMR: $MN$ $\leq$ $max{AB, BC, CA}$

Mình làm thế này không biết có đúng không ???
1: Mình sẽ chứng minh các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Giả sử điều ngược lại :
Các đường thẳng qua A.B.C // MN đều không cắt cạnh đối diện .
Không mất tính tổng quát, ta đặt MN \cap AB , BC = G, H
Từ điều giả sử$ \rightarrow \angle BGH > \angle BAC$
$\rightarrow \angle GHC > \angle ACB$
Mà$ \angle ABC :\text{chung}$
$\rightarrow \angle BGH +\angle GHC +\angle ABC > 180^o$
$\rightarrow$ Trái với định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác
$\rightarrow$ ĐIều giả sử sai
Vậy các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Hạ CI // MN
Dễ thấy $MN \leq CI$
Mà 1 trong 2$ \angle BIC , \angle AIC > 90^o$
$\rightarrow CI \leq AC$ hoặc $BC$
vậy $MN \leq AC$ hoặc $BC$
Vậy $\rightarrow Q.E.D$

Hình gửi kèm

  • bài làm.PNG


#5 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-08-2012 - 21:32

Mình làm thế này không biết có đúng không ???
1: Mình sẽ chứng minh các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Giả sử điều ngược lại :
Các đường thẳng qua A.B.C // MN đều không cắt cạnh đối diện .
Không mất tính tổng quát, ta đặt MN \cap AB , BC = G, H
Từ điều giả sử$ \rightarrow \angle BGH > \angle BAC$
$\rightarrow \angle GHC > \angle ACB$
Mà$ \angle ABC :\text{chung}$
$\rightarrow \angle BGH +\angle GHC +\angle ABC > 180^o$
$\rightarrow$ Trái với định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác
$\rightarrow$ ĐIều giả sử sai
Vậy các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Hạ CI // MN
Dễ thấy $MN \leq CI$
Mà 1 trong 2$ \angle BIC , \angle AIC > 90^o$
$\rightarrow CI \leq AC$ hoặc $BC$
vậy $MN \leq AC$ hoặc $BC$
Vậy $\rightarrow Q.E.D$

Bài chú c/m đúng rồi ;). Nhưng chưa chặt chẽ lắm. Đoạn cuối thật sự là 1 bổ đề quen thuộc.
Cho $\triangle ABC$, cho điểm $M$ bất kì nằm trên $BC$. Khi đó có $AM \leq max\begin{Bmatrix} AB,AC \end{Bmatrix}$
Chứng minh cũng đơn giản, từ giả thiết $\Rightarrow max\begin{Bmatrix} \angle AMB, \angle AMC \end{Bmatrix} \geq 90^o$
Nếu $max\begin{Bmatrix} \angle AMB, \angle AMC \end{Bmatrix} = \angle AMC$ thì $AC>AM$
Nếu $max\begin{Bmatrix} \angle AMB, \angle AMC \end{Bmatrix} = \angle AMB$ thì $AB>AM$
Vậy ta luôn có $AM \leq max\begin{Bmatrix} AB,AC \end{Bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 12-08-2012 - 21:32

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh