Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $MN$ $\leq$ Max{AB, BC, CA}


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
Cho $\Delta ABC$; $M, N$ là hai điểm bất kì trong tam giác đó. CMR: $MN$ $\leq$ max{AB, BC, CA}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 13-08-2012 - 16:15


$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2
C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết

Cho $\Delta ABC$; $M, N$ là hai điểm bất kì trong tam giác đó. CMR: $MN$ $\leq$ $Max {AB, BC, CA}$

Mình không hiểu đề ở chỗ: $MN$ $\leq$ $Max {AB, BC, CA}$.
Chỗ này là thế nào nhỉ ?

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#3
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Mình không hiểu đề ở chỗ: $MN$ $\leq$ $Max {AB, BC, CA}$.
Chỗ này là thế nào nhỉ ?

Tức là $MN$ luôn $\leq$ tại các giá trị max của $AB,BC,CA$
Kí hiệu đúng ra phải là $MN \leq max\begin{Bmatrix}
AB,BC,CA
\end{Bmatrix}$

#4
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Cho $\Delta ABC$; $M, N$ là hai điểm bất kì trong tam giác đó. CMR: $MN$ $\leq$ $max{AB, BC, CA}$

Mình làm thế này không biết có đúng không ???
1: Mình sẽ chứng minh các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Giả sử điều ngược lại :
Các đường thẳng qua A.B.C // MN đều không cắt cạnh đối diện .
Không mất tính tổng quát, ta đặt MN \cap AB , BC = G, H
Từ điều giả sử$ \rightarrow \angle BGH > \angle BAC$
$\rightarrow \angle GHC > \angle ACB$
Mà$ \angle ABC :\text{chung}$
$\rightarrow \angle BGH +\angle GHC +\angle ABC > 180^o$
$\rightarrow$ Trái với định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác
$\rightarrow$ ĐIều giả sử sai
Vậy các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Hạ CI // MN
Dễ thấy $MN \leq CI$
Mà 1 trong 2$ \angle BIC , \angle AIC > 90^o$
$\rightarrow CI \leq AC$ hoặc $BC$
vậy $MN \leq AC$ hoặc $BC$
Vậy $\rightarrow Q.E.D$

Hình gửi kèm

  • bài làm.PNG


#5
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Mình làm thế này không biết có đúng không ???
1: Mình sẽ chứng minh các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Giả sử điều ngược lại :
Các đường thẳng qua A.B.C // MN đều không cắt cạnh đối diện .
Không mất tính tổng quát, ta đặt MN \cap AB , BC = G, H
Từ điều giả sử$ \rightarrow \angle BGH > \angle BAC$
$\rightarrow \angle GHC > \angle ACB$
Mà$ \angle ABC :\text{chung}$
$\rightarrow \angle BGH +\angle GHC +\angle ABC > 180^o$
$\rightarrow$ Trái với định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác
$\rightarrow$ ĐIều giả sử sai
Vậy các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Hạ CI // MN
Dễ thấy $MN \leq CI$
Mà 1 trong 2$ \angle BIC , \angle AIC > 90^o$
$\rightarrow CI \leq AC$ hoặc $BC$
vậy $MN \leq AC$ hoặc $BC$
Vậy $\rightarrow Q.E.D$

Bài chú c/m đúng rồi ;). Nhưng chưa chặt chẽ lắm. Đoạn cuối thật sự là 1 bổ đề quen thuộc.
Cho $\triangle ABC$, cho điểm $M$ bất kì nằm trên $BC$. Khi đó có $AM \leq max\begin{Bmatrix} AB,AC \end{Bmatrix}$
Chứng minh cũng đơn giản, từ giả thiết $\Rightarrow max\begin{Bmatrix} \angle AMB, \angle AMC \end{Bmatrix} \geq 90^o$
Nếu $max\begin{Bmatrix} \angle AMB, \angle AMC \end{Bmatrix} = \angle AMC$ thì $AC>AM$
Nếu $max\begin{Bmatrix} \angle AMB, \angle AMC \end{Bmatrix} = \angle AMB$ thì $AB>AM$
Vậy ta luôn có $AM \leq max\begin{Bmatrix} AB,AC \end{Bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 12-08-2012 - 21:32





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh