Cho hàm số: $y=ln(x+1)$
#1
Đã gửi 12-08-2012 - 20:25
#2
Đã gửi 12-08-2012 - 20:33
Cho hàm số: $y=ln(x+1)$. Tính đạo hàm cấp n của hàm số.
Ta có: $y' = \frac{1}{{x + 1}}$.
Tiếp theo: \[y'' = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};\,\,y''' = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {\left( { - 1} \right)^2}\frac{{1.2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\]
Ta dự đoán:\[{y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{1.2...\left( {n - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^n}}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^n}}}\,\,\,\left( * \right)\]
Chứng minh công thức $(*)$ bằng quy nạp là xong!
#3
Đã gửi 12-08-2012 - 22:29
Giúp em bài đạo hàm này:Ta có: $y' = \frac{1}{{x + 1}}$.
Tiếp theo: \[y'' = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};\,\,y''' = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {\left( { - 1} \right)^2}\frac{{1.2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\]
Ta dự đoán:\[{y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{1.2...\left( {n - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^n}}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^n}}}\,\,\,\left( * \right)\]
Chứng minh công thức $(*)$ bằng quy nạp là xong!
Tính đạo hàm của hàm số sau: $y=(x+1)^{x+2}$
#4
Đã gửi 12-08-2012 - 22:33
Giúp em bài đạo hàm này:
Tính đạo hàm của hàm số sau: $y=(x+1)^{x+2}$
Lấy $ln$ hai vế, ta được:
\[\ln y = \left( {x + 2} \right)\ln \left( {x + 1} \right)\]
Khi đó: \[\frac{{y'}}{y} = \ln \left( {x + 1} \right) + \frac{{x + 2}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = y\left( {\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right) = {\left( {x + 1} \right)^{x + 2}}\left( {\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right)\]
Vậy: ${\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^{x + 2}}} \right]^\prime } = {\left( {x + 1} \right)^{x + 2}}\left( {\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right)$
#5
Đã gửi 11-12-2012 - 13:07
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh