Chủ đề này có 10 trả lời

[alex_hoang]

Đề bài:Tính định thức

\[{D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{...}&1&1\\{{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_{n - 1}}}&{{a_n}}\\{a_1^2}&{a_2^2}&{a_3^2}&{...}&{a_{n - 1}^2}&{a_n^2}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\{a_1^{n - 1}}&{a_2^{n - 1}}&{a_3^{n - 1}}&{...}&{a_{n - 1}^{n - 1}}&{a_n^{n - 1}}\\{a_1^n}&{a_2^n}&{a_3^n}&{...}&{a_{n - 1}^n}&{a_n^n}\end{array}} \right|\]

[Crystal]

Đề bài:Tính định thức

\[{D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{...}&1&1\\{{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_{n - 1}}}&{{a_n}}\\{a_1^2}&{a_2^2}&{a_3^2}&{...}&{a_{n - 1}^2}&{a_n^2}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\{a_1^{n - 1}}&{a_2^{n - 1}}&{a_3^{n - 1}}&{...}&{a_{n - 1}^{n - 1}}&{a_n^{n - 1}}\\{a_1^n}&{a_2^n}&{a_3^n}&{...}&{a_{n - 1}^n}&{a_n^n}\end{array}} \right|\]

Ta thực hiện: ${h_{n }}\left( { - {a_1}} \right) + {h_{n+1}}$ và ${h_{n - 1}}\left( { - {a_1}} \right) + {h_{n}}$ ta được:
\[{D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{...}&1&1\\
0&{{a_2} - {a_1}}&{{a_3} - {a_1}}&{...}&{{a_{n - 1}} - {a_1}}&{{a_n} - {a_1}}\\
0&{a_2^2 - {a_2}{a_1}}&{a_3^2 - {a_3}{a_1}}&{...}&{a_{n - 1}^2 - {a_{n - 1}}{a_1}}&{a_n^2 - {a_n}{a_1}}\\
{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\
0&{a_2^{n - 1} - a_2^{n - 2}.{a_1}}&{a_3^{n - 1} - a_3^{n - 2}.{a_1}}&{...}&{a_{n - 1}^{n - 1} - a_{n - 1}^{n - 2}.{a_1}}&{a_n^{n - 1} - a_n^{n - 2}.{a_1}}\\
0&{a_2^n - a_2^{n - 1}.{a_1}}&{a_3^n - a_3^{n - 1}.{a_1}}&{...}&{a_{n - 1}^n - a_{n - 1}^{n - 1}.{a_1}}&{a_n^n - a_n^{n - 1}.{a_1}}
\end{array}} \right|\]
Trong đó: ${h_i}$ là hàng thứ $i$.

Khai triển theo cột $1$ ta được:
\[{D_n} = \left( {{a_2} - {a_1}} \right)\left( {{a_3} - {a_1}} \right)...\left( {{a_n} - {a_1}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{...}&1\\
{{a_2}}&{{a_3}}&{{a_4}}&{...}&{{a_n}}\\
{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\
{a_2^{n - 2}}&{a_3^{n - 2}}&{a_4^{n - 2}}&{...}&{a_n^{n - 2}}\\
{a_2^{n - 1}}&{a_3^{n - 1}}&{a_4^{n - 1}}&{...}&{a_n^{n - 1}}
\end{array}} \right|\]
Lại làm như trên, cuối cùng ta thu được:
\[{D_n} = \prod\limits_{i > 1} {\left( {{a_i} - {a_1}} \right)} \prod\limits_{i > 2} {\left( {{a_i} - {a_2}} \right)} ...\prod\limits_{i > n} {\left( {{a_i} - {a_{n}}} \right)} \]

[vo van duc]

WWW có cách giải hay quá đi!

.........................
Chúc cả nhà vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 15-08-2012 - 08:33

[vo van duc]

Sẵn đây có mấy bài tập hay hay post lên cho mọi người giao lưu! hi
............................................................................................................
Câu 1: Tính định thức

$\begin{vmatrix} 1 & x_{1}^{2} & x_{1}^{3} & ... & x_{1}^{n}\\ 1 & x_{2}^{2} & x_{2}^{3} & ... & x_{2}^{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 1 & x_{n}^2{} & x_{n}^{3} & ... & x_{n}^{n} \end{vmatrix}$

Câu 2: Tính định thức

$\begin{vmatrix} 1 & x_{1}x_{1}^{2} & ... & x_{1}^{n-2}x_{1}^{n}\\ 1 & x_{2}x_{2}^{2} & ... & x_{2}^{n-2}x_{2}^{n}\\ ... & ... & ... & ...\\ 1 & x_{n}x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n-2}x_{n}^{} \end{vmatrix}$

Câu 3: Tính định thức

$\begin{vmatrix} 1 & x_{1}x_{1}^{2} & ... & x_{1}^{i-1}x_{1}^{i+1} & ... & x_{1}^{n}\\ 1 & x_{2}x_{2}^{2} & ... & x_{2}^{i-1}x_{2}^{i+1} & ... & x_{2}^{n}\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 1 & x_{n}x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{i-1}x_{n}^{i+1} & ... & x_{n}^{n} \end{vmatrix}$

.......................................................
Chúc cả nhà vui vẻ!

[vo van duc]

Câu 4: Tính định thức

$\begin{vmatrix} 1 & x_{1}(x_{1}-1) & x_{1}^{2}(x_{1}-1) & ... & x_{1}^{n-1}(x_{1}-1)\\ 1 & x_{2}(x_{2}-1) & x_{2}^{2}(x_{2}-1) & ... & x_{2}^{n-1}(x_{2}-1)\\ ... & ............... & ............... & ... & .................\\ 1 & x_{n}(x_{n}-1) & x_{n}^{2}(x_{n}-1) & ... & x_{n}^{n-1}(x_{n}-1) \end{vmatrix}$



...........................................................................
Cùng nhau giao lưu nào!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 13-10-2012 - 23:18

[alex_hoang]

Câu 4: Tính định thức

$\begin{vmatrix} 1 & x_{1}(x_{1}-1) & x_{1}^{2}(x_{1}-1) & ... & x_{1}^{n-1}(x_{1}-1)\\ 1 & x_{2}(x_{2}-1) & x_{2}^{2}(x_{2}-1) & ... & x_{2}^{n-1}(x_{2}-1)\\ ... & ............... & ............... & ... & .................\\ 1 & x_{n}(x_{n}-1) & x_{n}^{2}(x_{n}-1) & ... & x_{n}^{n-1}(x_{n}-1) \end{vmatrix}$



...........................................................................
Cùng nhau giao lưu nào!
Tôi có cả hơn trăm bài định thức hay và khó (dù có đáp số nhưng cũng không có nổi một hướng dẫn). Tôi thỉnh thoảng lấy ra giải nên cũng được một ít rồi. Nay đang hè rảnh rổi post lên cùng thảo luận nha!. Hi

Em giải thử nhé

Ta đưa các thừa số chung ra ngoài thì ta có


\[ = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - 1} \right)} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{{x_1}}&{{x_1}^2}&{...}&{x_1^{n - 1}}\\1&{{x_2}}&{x_2^2}&{...}&{x_2^{n - 1}}\\1&{{x_3}}&{x_3^2}&{...}&{x_3^{n - 1}}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\1&{{x_n}}&{x_n^{^2}}&{...}&{x_n^{n - 1}}\end{array}} \right|\]
Em nghĩ cái định thức sau này thì có thể dùng cách mà anh Thành(WWW) đã post

[vo van duc]

Bài 5: Tính định thức

$D=\begin{vmatrix} 1+x_{1} & 1+x_{1}^{2} & ... & 1+x_{1}^{n}\\ 1+x_{2} & 1+x_{2}^{2} & ... & 1+x_{2}^{n}\\ ... & ... & & ...\\ 1+x_{n} & 1+x_{n}^{2} & ... & 1+x_{n}^{n} \end{vmatrix}$

[vo van duc]

Bài 6: Tính dịnh thức

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 1 \end{vmatrix}$

[vo van duc]

Bài 7: Tính định thức

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 0 \end{vmatrix}$

[vo van duc]

Bà 8: Tính định thức

$\begin{vmatrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & ... & a_{n} \\ -y_{1} & x_{1} & 0 & ... & 0\\ 0 & -y_{2} & x_{2} & ... & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & x_{n} \end{vmatrix}$

....................................
Chúc cả nhà vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 16-08-2012 - 09:09

[vo van duc]

Bà 8: Tính định thức

$\begin{vmatrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & ... & a_{n} \\ -y_{1} & x_{1} & 0 & ... & 0\\ 0 & -y_{2} & x_{2} & ... & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & x_{n} \end{vmatrix}$

Chư có ai giải thì mình đưa ra gợi ý nha! Hi
..........................................................

Khai triển theo cột thứ n ta có hệ thức truy hồi $D_{n+1}=x_{n}D_{n}+a_{n}y_{1}y_{2}...y_{n}$
Từ đó ta có kết quả: $D_{n+1}=a_{0}x_{1}x_{2}...x_{n}+a_{1}y_{1}x_{2}...x_{n}+a_{2}y_{1}y_{2}x_{3}...x_{n}+...+a_{n}y_{1}y_{2}...y_{n}$