Chủ đề này có 7 trả lời

[tkvn97]

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN VĨNH PHÚC NĂM 2012 - 2013

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (2 điểm) : Giải phương trình : $(x-2012)^{3}+(2x-2013)^{3}+(4025-3x)^{3}=0$

Câu 2 (2 điểm) : Tìm tất cả các bộ hai số chình phương $(m;n)$, mỗi số có đúng 4 chữ số , biết rằng mỗi chữ số của m bằng chữ số tương ứng của n cộng thêm với d , ở đây d là một số nguyên dương nào đó cho trước .

Câu 3 (2 điểm) :Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn $abc\leq 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq a+b+c$

Câu 4 (3 điểm) : Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng đi qua I và vuông góc với CI theo thứ tự cắt các cạch CA và CB tại M và N .
a) Chứng minh rắng các tam giác AMI , AIB và INB đôi một đồng dạng .
b) Chứng minh rằng : $BC.AI^{2}++CA.BI^{2}+AB.CI^{2}=AB.BC.CA$

Câu 5 (1 điểm): Cho trước số nguyên dương n lẻ . Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước $m\times n$ người ta viết một số +1 hoặc -1 . Gọi $a_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên hàng thứ k (tính từ trên xuống) và $b_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên cột thứ k (tính từ trái sang) . Chứng minh rằng với mọi cách điền như trên đếu có $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+b_{1}+b_{2}+...+b_{n}\neq 0$

--------- HẾT ------------

Học sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

[Tru09]

Câu 1 (2 điểm) : Giải phương trình : $(x-2012)^{3}+(2x-2013)^{3}+(4025-3x)^{3}=0$

Chém ngay bài 1:
Đặt $(x-2012)=a ; (2x -2013)=b \rightarrow (3x -4025)=a+b$
$\rightarrow :\text{Thế vào PT ta có} 0 =a^3 +b^3 -(a+b)^3 $
$\leftrightarrow 3ab(a+b)=0$
$\leftrightarrow (x-2012)(2x -2013).(3x-4025)=0$
$\leftrightarrow x=2012$ hoặc $x=\frac{2013}{2}$ hoặc$ x=\frac{4025}{3}$
--------------------------------------
Cách khác:
Đặt $(x-2012)=a ; (2x -2013)=b \rightarrow (4025 -3x)=c$
Dễ thấy$ a+b+c=0 \rightarrow a^3 +b^3 +c^3 =3abc$
Rồi tượng tự như câu trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 13-08-2012 - 17:48

[trungdung97]

$\sum \frac{a}{b^{3}}\geq \sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum \frac{bc}{a}\geq \sum a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdung97: 13-08-2012 - 18:08

[robin997]

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN VĨNH PHÚC NĂM 2012 - 2013

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (2 điểm) : Giải phương trình : $(x-2012)^{3}+(2x-2013)^{3}+(4025-3x)^{3}=0$

Câu 2 (2 điểm) : Tìm tất cả các bộ hai số chình phương $(m;n)$, mỗi số có đúng 4 chữ số , biết rằng mỗi chữ số của m bằng chữ số tương ứng của n cộng thêm với d , ở đây d là một số nguyên dương nào đó cho trước .

Câu 3 (2 điểm) :Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn $abc\leq 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq a+b+c$

Câu 4 (3 điểm) : Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng đi qua I và vuông góc với CI theo thứ tự cắt các cạch CA và CB tại M và N .
a) Chứng minh rắng các tam giác AMI , AIB và INB đôi một đồng dạng .
b) Chứng minh rằng : $BC.AI^{2}++CA.BI^{2}+AB.CI^{2}=AB.BC.CA$

Câu 5 (1 điểm): Cho trước số nguyên dương n lẻ . Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước $m\times n$ người ta viết một số +1 hoặc -1 . Gọi $a_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên hàng thứ k (tính từ trên xuống) và $b_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên cột thứ k (tính từ trái sang) . Chứng minh rằng với mọi cách điền như trên đếu có $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+b_{1}+b_{2}+...+b_{n}\neq 0$

--------- HẾT ------------

Học sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Hình như câu 5 đề sai hay thiếu gì đó nhi~~?? (về quan hệ giữa m và n ấy)

[henry0905]

Bài 4 đã có ở đây:
http://diendantoanho...cs/page__st__20

[ninhxa]

Câu 3 (2 điểm) :Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn $abc\leq 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq a+b+c$

-Ko hiểu cách của trungdung97 lắm. post cách này dù khá dài.
-Do $abc\leq 1$ nên $VT\geq abc\left ( \frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3} \right )=\left ( \frac{a^2c}{b^2}+\frac{b^2a}{c^2}+ \frac{c^2b}{a^2}\right )$(1)
-Áp dụng bdt Cauchy-Schwaz ta có:
$\left ( \frac{a^2c}{b^2}+\frac{b^2a}{c^2}+ \frac{c^2b}{a^2}\right )(c+a+b)\geq \left ( \frac{ac}{b}+\frac{ba}{c} +\frac{cb}{a}\right )^2=\left ( \frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc} \right )^2\geq \left [ \frac{abc(a+b+c)}{abc} \right ]^2=(a+b+c)^2$
$\Rightarrow\frac{a^2c}{b^2}+\frac{b^2a}{c^2}+ \frac{c^2b}{a^2}\geq a+b+c$(2)
-Từ (1) và (2) ta có dpcm

[tim1nuathatlac]

mọi người pots nhầm rồi, bài 5 là bàn cờ kích thước n.n

[Secrets In Inequalities VP]

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN VĨNH PHÚC NĂM 2012 - 2013

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 3 (2 điểm) :Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn $abc\leq 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq a+b+c$

Bài này hôm đi thi mình làm thế này ! Rõ dài , ngớ ngẩn !
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\Rightarrow xyz\leq 1$
BĐT$\Leftrightarrow \frac{y^3}{x}+\frac{z^3}{y}+\frac{x^3}{z}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Xét 2 TH :
+TH1: $xyz=1$
$VT= \frac{y^4}{xy}+\frac{z^4}{yz}+\frac{x^4}{zx}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{xy+yz+zx}\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{xy+yz+zx}=xy+yz+zx$
$= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= VP$
+TH2 : $xyz> 1$
Khi đó tồn tại số $k> 1$ sao cho : $x=kx^{'},y=ky^{'},z=kz^{'}$ và $xyz= 1$
BĐT
$\Leftrightarrow k^{3}(\frac{y^{'}^3}{x^{'}}+\frac{z^{'}^3}{y^{'}}+\frac{x^{'}^3}{z^{'}})\geq \frac{1}{x^{'}}+\frac{1}{y^{'}}+\frac{1}{z^{'}}$
Luôn đúng vì :
$\frac{y^{'}^3}{x^{'}}+\frac{z^{'}^3}{y^{'}}+\frac{x^{'}^3}{z^{'}}\geq \frac{1}{x^{'}}+\frac{1}{y^{'}}+\frac{1}{z^{'}}$
( theo TH1 )
và $k^3> 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 14-08-2012 - 21:21