Chủ đề này có 11 trả lời

[abcde0101]

Bai 1:Cho $\left ( x+\sqrt{1+y^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+x^{2}} \right )=1$
CM:$\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1$
Bai 2:Tim cac so $x$ sao cho:
$F=\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$$\in \mathbb{Z}$
Bai 3:CM: Voi moi $n\in \mathbb{Z}^{+}$ ta co:

a,$\left [ \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right ]=\left [ \sqrt{4n+2} \right ]$

b,$\left [ \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\sqrt{n+2} \right ]=\left [ \sqrt{9n+8} \right ]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abcde0101: 13-08-2012 - 17:50

[Tru09]

Bai 1:Cho $\left ( x+\sqrt{1+y^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+x^{2}} \right )=1$
CM:$\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1$
Bai 2:Tim cac so $x$ sao cho:
$F=\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$$\in \mathbb{Z}$
Bai 3:CM: Voi moi $n\in \mathbb{Z}^{+}$ ta co:

a,$\left [ \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right ]=\left [ \sqrt{4n+2} \right ]$

b,$\left [ \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\sqrt{n+2} \right ]=\left [ \sqrt{9n+8} \right ]$

Mình làm cách này không biết đúng sai ????
$\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1$
$\leftrightarrow \left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=$$\left ( x+\sqrt{1+y^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+x^{2}} \right )=1$
$\leftrightarrow x\sqrt{1+x^2} +y.\sqrt{1+y^2} =x.\sqrt{1+y^2} +y.\sqrt{1+x^2}$
$\leftrightarrow (x-y).(\sqrt{1+x^2} -\sqrt{1+y^2})=0$
$\leftrightarrow (x-y)(1+x^2 -1-y^2)=0$
$\leftrightarrow x= +y$ hoặc $=-y$
Mà với 2 giá trị này thì (1) thoả mãn $\rightarrow Q.E.D$

[L Lawliet]

Mình làm cách này không biết đúng sai ????
$\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1$
$\leftrightarrow \left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=$$\left ( x+\sqrt{1+y^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+x^{2}} \right )=1$
$\leftrightarrow x\sqrt{1+x^2} +y.\sqrt{1+y^2} =x.\sqrt{1+y^2} +y.\sqrt{1+x^2}$
$\leftrightarrow (x-y).(\sqrt{1+x^2} -\sqrt{1+y^2})=0$
$\leftrightarrow (x-y)(1+x^2 -1-y^2)=0$
$\leftrightarrow x= +y$ hoặc $=-y$
Mà với 2 giá trị này thì (1) thoả mãn $\rightarrow Q.E.D$

Sai ngay từ dòng thứ hai: Người ta bảo chứng minh $\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1$ mà em lại cho là điều ấy đúng à?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-08-2012 - 18:24

[dactai10a1]

Bai 1:Cho $\left ( x+\sqrt{1+y^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+x^{2}} \right )=1$(1)
CM:$\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1$

$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow \sqrt {({y^2} + 1)({x^2} + 1)} + xy - 1 = - x\sqrt {{x^2} + 1} - y\sqrt {{y^2} + 1} \\
\Rightarrow {(\sqrt {({y^2} + 1)({x^2} + 1)} + xy - 1)^2} = {(x\sqrt {{x^2} + 1} + y\sqrt {{y^2} + 1} )^2}\\
\Rightarrow 2(1 - xy - \sqrt {({x^2} + 1)({y^2} + 1)} ) = {({x^2} - {y^2})^2} \ge 0\\
\Rightarrow 1 - xy \ge \sqrt {({x^2} + 1)({y^2} + 1)}
\end{array}$
Nhưng theo bđt Bunhiacopxki ta có $\sqrt {({x^2} + 1)({y^2} + 1)} \ge \left| {1 - xy} \right| \ge 1 - xy$
Vậy đẳng thức đã xảy ra.Suy ra y=-x,suy ra đpcm

[BlackSelena]

Bài 3:
a,Trước hết, ta c/m bđt sau.
$\sqrt{n} + \sqrt{n+1} < \sqrt{4n+2}$ (*)
$\Leftrightarrow (\sqrt{n} + \sqrt{n+1})^2 < 4n+2$
$\Leftrightarrow n + 2\sqrt{n^2+n} + n+ 1 < 4n+2$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{n^2+n} < 2n+1$
$\Leftrightarrow 4n^2 + 4n < 4n^2 + 4n +1:true$
Vậy ta có (*)
$\Rightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{n} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sqrt{n+1} \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix}\sqrt{4n+2} \end{bmatrix}$
Giả sử $\begin{bmatrix} \sqrt{n} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sqrt{n+1} \end{bmatrix} < \begin{bmatrix}\sqrt{4n+2} \end{bmatrix}$
Vậy tồn tại $m \in \mathbb{Z}$ sao cho
$\sqrt{n} + \sqrt{n+1} < m \leq \sqrt{4n+2}$
$\Leftrightarrow n + 2\sqrt{n^2+n} + n + 2 < m^2 \leq 4n+2$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{n^2+n} < m^2 - 2n - 1 \leq 2n+1$
$\Leftrightarrow 4n^2 + 4n < (m^2-2n-1)^2 \leq 4n^2 + 4n + 1$
Mà $4n^2 + 4n +1$ và $4n^2 + 4n$ là 2 số tự nhiên liên tiếp
$\Rightarrow (m^2-2n-1)^2 = (2n+1)^2$
$\Leftrightarrow m^2 = 2(2n+1)$
$\Rightarrow m^2$ chẵn
$\Rightarrow m$ chẵn. Vậy ta viết $m = 2k$
$\Rightarrow 4k^2 = 2(2n+1)$
$\Leftrightarrow 2k^2 = 2n+1$. Vô lý vì VT chẵn, VP lẻ
Vậy không tồn tại $m$.
$\Rightarrow \begin{bmatrix}
\sqrt{n}
\end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix}\sqrt{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sqrt{4n+2} \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 13-08-2012 - 19:35

[Tru09]

$F=\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$$\in \mathbb{Z}$

Bài làm:
ĐKXD :$x \geq0$
Để $F \in Z \leftrightarrow F = k \in Z$ ( $k \geq0$)
$\leftrightarrow \sqrt{x} \geq x\sqrt{x} -3\sqrt{x} +3$
$\leftrightarrow 0 \geq x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3$(*)
Dễ thấy với $\sqrt{x} \geq 2$
$\rightarrow x\sqrt{x} \geq 8 $
$\rightarrow x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3 \geq 8-8+3 >0$
Vậy Để $0 \geq x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3$
$\leftrightarrow x <4$
Mà $x \in Z \rightarrow x :\text{có thể là} :0,1,2,3$
Thay vào ta thấy chỉ có $x=0$ hoặc $x=1 :\text{thoả mãn}$
-------------------------------------------
Cách khác , không phải xét nhiều nhưng mà lại phải xét nhiều =))
Đến (*)
Ta gọi $\sqrt{x} =a (a \geq0)$
Đến đây ta phân tích đa thức thành nhân tử
$\rightarrow 0 \geq (a-1)(a-\frac{\sqrt{11}+1}{2})(a+\frac{\sqrt{11}-1}{2}) $
Kẻ bảng xét dấu ta được :
$\frac{\sqrt{11}+1}{2} \geq a \geq 1$
$\rightarrow 2,2 \geq a \geq 1$
$\rightarrow x=1 :\text{nguyên}$
$\rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 14-08-2012 - 15:00

[dactai10a1]

Bai 3:CM: Voi moi $n\in \mathbb{Z}^{+}$ ta co:
b,$\left [ \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\sqrt{n+2} \right ]=\left [ \sqrt{9n+8} \right ]$

Đề đúng phải là $\left\lfloor {\sqrt n + \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} } \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {9n + 8} } \right\rfloor $
Đặt $x = \sqrt n + \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} \Rightarrow {x^2} = 3n + 3 + 2(\sqrt {n(n + 1)} + \sqrt {n(n + 2)} + \sqrt {(n + 1)(n + 2)} $
Ta có $\begin{array}{l}
{\left( {n + \frac{2}{5}} \right)^2} < n(n + 1) < {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2};{\left( {\frac{7}{{10}} + n} \right)^2} < n(n + 2) < {(n + 1)^2};{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} < (n + 1)(n + 2) < {\left( {n + \frac{3}{2}} \right)^2}\\
\Rightarrow 9n + 8 < {x^2} < 9n + 9 \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {9n + 8} } \right\rfloor
\end{array}$

[abcde0101]

Bài làm:
ĐKXD :$x \geq0$
Để $F \in Z \leftrightarrow F = k \in Z$ ( $k \geq0$)
$\leftrightarrow \sqrt{x} \geq x\sqrt{x} -3\sqrt{x} +3$
$\leftrightarrow 0 \geq x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3$(*)
Dễ thấy với $\sqrt{x} \geq 2$
$\rightarrow x\sqrt{x} \geq 8 $
$\rightarrow x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3 \geq 8-8+3 >0$
Vậy Để $0 \geq x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3$
$\leftrightarrow x <4$
Mà $x \in Z \rightarrow x :\text{có thể là} :0,1,2,3$
Thay vào ta thấy chỉ có $x=0$ hoặc $x=1 :\text{thoả mãn}$
-------------------------------------------
Cách khác , không phải xét nhiều nhưng mà lại phải xét nhiều =))
Đến (*)
Ta gọi $\sqrt{x} =a (a \geq0)$
Đến đây ta phân tích đa thức thành nhân tử
$\rightarrow 0 \geq (a-1)(a-\frac{\sqrt{11}+1}{2})(a+\frac{\sqrt{11}-1}{2}) $
Kẻ bảng xét dấu ta được :
$\frac{\sqrt{11}+1}{2} \geq a \geq 1$
$\rightarrow 2,2 \geq a \geq 1$
$\rightarrow x=1 :\text{nguyên}$
$\rightarrow Q.E.D$

Nhung de bai dau cho $x\in \mathbb{Z}$ ma ban!

[L Lawliet]

Nhung de bai dau cho $x\in \mathbb{Z}$ ma ban!

Chú ý viết tiếng Việt có dấu, Unikey không có thì bạn có thể down!

[abcde0101]

Đề đúng phải là $\left\lfloor {\sqrt n + \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} } \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {9n + 8} } \right\rfloor $
Đặt $x = \sqrt n + \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} \Rightarrow {x^2} = 3n + 3 + 2(\sqrt {n(n + 1)} + \sqrt {n(n + 2)} + \sqrt {(n + 1)(n + 2)} $
Ta có $\begin{array}{l}
{\left( {n + \frac{2}{5}} \right)^2} < n(n + 1) < {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2};{\left( {\frac{7}{{10}} + n} \right)^2} < n(n + 2) < {(n + 1)^2};{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} < (n + 1)(n + 2) < {\left( {n + \frac{3}{2}} \right)^2}\\
\Rightarrow 9n + 8 < {x^2} < 9n + 9 \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {9n + 8} } \right\rfloor
\end{array}$

Ban phai chung minh: $\left [ 9n+9 \right ]=\left [ 9n+8 \right ]$ nua ma!

[dactai10a1]

Ban phai chung minh: $\left [ 9n+9 \right ]=\left [ 9n+8 \right ]$ nua ma!

ý bạn là sao

[deathavailable]

Xin lỗi, Mình gõ nhầm lời  giải cho pic

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 20-06-2013 - 22:22