Chủ đề này có 2 trả lời

[nucnt772]

BÀI TOÁN: Một tứ giác lồi được chia bởi các đường chéo thành 4 tam giác. Chứng minh rằng: đường thẳng nối các trọng tâm của 2 tam giác đối nhau vuông góc với đường thẳng nối các trực tâm của 2 tam giác còn lại.

[baopbc]

BÀI TOÁN: Một tứ giác lồi được chia bởi các đường chéo thành 4 tam giác. Chứng minh rằng: đường thẳng nối các trọng tâm của 2 tam giác đối nhau vuông góc với đường thẳng nối các trực tâm của 2 tam giác còn lại.

Bài toán này quen thuộc khi sử dụng tích vô hướng!

Ta xét tứ giác $ABCD$ có $E\equiv BD\cap AC$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm $BC,AD.H,K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $ABE$ và $CDE$. Theo định lí Thales, dễ thấy chỉ cần cm $HK\perp IJ$.

Kẻ $AA',CC'$ vuông góc với $BD$, ta có:

$\vec{HK}.\vec{BD}=\overline{A'C'}.\overline{BD}=\vec{AC}.\vec{BD}$

Tương tự thì: $\vec{HK}.\vec{AC}=\vec{BD}.\vec{AC}$

$\implies \vec{HK}.\vec{AC}=\vec{HK}.\vec{BD}\implies \vec{HK}.\vec{IJ}=\vec{HK}(\frac{\vec{BD}+\vec{CA}}{2})$

$=\frac{\vec{HK}.\vec{BD}}{2}-\frac{\vec{HK}.\vec{AC}}{2}=0\implies HK\perp IJ$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 22-06-2016 - 11:17

[Ngockhanh99k48]

Một tính chất cơ bản của tứ giác toàn phần, đường thẳng Gauss vuông góc với đường thẳng Steiner (đã được đề cập trong tài liệu chuyên Toán Hình học 10). Ta lại có, đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác song song với đường thẳng Gauss của tứ giác