Chủ đề này có 7 trả lời

[altair5927]

Nói là thảo luận cho oai thôi chứ tay nghề của em còn khá non, mong các bác chỉ giáo. Trong Topic này em sẽ post những bài mà em thắc mắc (hoặc những bài hay) hướng tới kì thi HSG thành phố sắp tới. Rất mong được học hỏi kinh nghiệm từ các thành viên của diễn đàn .

Bài 1: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:
$x + y + z = 4$
$xy + yz + zx = 4$
Tìm GTNN, GTLN của $M = x^{3} + y^{3} + z^{3}$

Bài 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn $1\geq x\geq y> 0$
Chứng minh rằng $\frac{x^{3}y^{2} + y^{3} + x^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1}\geq xy$

Lần đầu em post bài có gì không chuẩn mong mod nhắc nhở
Thôi chết em post nhầm box, mod chuyển hộ em sang box BĐT THPT với (

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi altair5927: 14-08-2012 - 11:44

[WhjteShadow]

Nói là thảo luận cho oai thôi chứ tay nghề của em còn khá non, mong các bác chỉ giáo. Trong Topic này em sẽ post những bài mà em thắc mắc (hoặc những bài hay) hướng tới kì thi HSG thành phố sắp tới. Rất mong được học hỏi kinh nghiệm từ các thành viên của diễn đàn .

Bài 1: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:
$x + y + z = 4$
$xy + yz + zx = 4$
Tìm GTNN, GTLN của $M = x^{3} + y^{3} + z^{3}$

Những bài như thế này thường sẽ được đưa về hết 1 ẩn để khảo sát hàm số.
Từ điều kiện dễ dàng suy ra $x+y+z=4,x^2+y^2+z^2=8$
$\to (y+z)^2=(4-x)^2\leq 2(y^2+z^2)=2(8-x^2)$
$\to (4-x)^2\leq 2(8-x^2)\to 16-8x+x^2\leq 16-2x^2\to 3x^2-8x\leq 0$
$\to x(3x-8)\leq 0\to 0\leq x\leq \frac{8}{3}$
Ta sẽ viết $M$ the0 ẩn $x$:
$$M=x^3+y^3+z^3=x^3+(y+z)^3-3yz(y+z)$$
$$=x^3+(4-x)^3+3(xy+zx-4)(y+z)$$
$$=x^3+(4-x)^3+3[x(y+z)-4](4-x)$$
$$=x^3+(4-x)^3+3[x(4-x)-4](4-x)$$
$$=3x^3-12x^2+12x+16$$
Khảo sát hàm số này với $0\leq x\leq \frac{8}{3}$ là ok

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 14-08-2012 - 12:43

[ninhxa]

Bài 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn $1\geq x\geq y> 0$
Chứng minh rằng $\frac{x^{3}y^{2} + y^{3} + x^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1}\geq xy$

-Bài 2 thì có lẽ quy đồng lên là dễ nhất
-Bdt tương đương với:
$x^3y^2+y^3+x^2\geq x^3y+xy^3+xy\Leftrightarrow x^3y(1-y)+y^3(1-x)+x(x-y)\geq 0$
-Bdt cuối đúng theo dk

P/s: Nhầm rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 14-08-2012 - 20:44

[Cao Xuân Huy]

Bài 2 tham khảo video này:
http://www.youtube.com/watch?v=0eBp0_VAKhg&feature=player_embedded
Nguồn: onluyentoan.vn

-Bài 2 thì có lẽ quy đồng lên là dễ nhất
-Bdt tương đương với:
$x^3y^2+y^3+x^2\geq x^3y+xy^3+xy\Leftrightarrow$$ x^3y(1-y)$$+y^3(1-x)+x(x-y)\geq 0$
-Bdt cuối đúng theo dk

Bạn ninhxa nhầm chỗ màu đỏ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 14-08-2012 - 15:04

[altair5927]

Từ điều kiện dễ dàng suy ra $x+y+z=4,x^2+y^2+z^2=8$
$\to (y+z)^2=(4-x)^2\leq 2(y^2+z^2)=2(8-x^2)$

cảm ơn các bác. Đoạn này bác WhjteShadow biến đổi hay quá
thôi em tiếp tục cày đề có gì đến tối thắc mắc em lại mang lên nhờ các bác chỉ bảo

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi altair5927: 14-08-2012 - 16:33

[altair5927]

Bài 3: Cho $M=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ với $x,y,z> 0$ và $x+y+z= 1$
CMR $M< \frac{4}{27}$
(bài này từ bậc cao so sánh nhỏ hơn bậc thấp kiểu gì nhỉ? dùng đạo hàm đưa về hai ẩn thì lại ra nhiều trường hợp quá)
Bài 4: Cho x, y là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}-4x-6y+12=0 \Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$.
Tìm GTLN, GTNN của $A=x^{2}+y^{2}$.
(bài này em giải như sau:
$x^{2}+y^{2}-4x-6y+12=0 \Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$
hay x,y là tọa độ của điểm A thuộc đường tròn tâm I(2;3) có R=1.
$x^{2}+y^{2}=A$ hay x, y cũng là tọa độ của A thuộc đường tròn tâm O(0;0) bán kính $\sqrt{A}$ => để hệ có nghiệm thì hai đường tròn phải có điểm chung =>$\sqrt{13}-1\leq \sqrt{A}\leq \sqrt{13}+1\Leftrightarrow 14-2\sqrt{13}\leq A\leq 14+2\sqrt{13}$) làm vậy đúng chưa nhỉ? liệu còn hướng làm nào khác không?

[triethuynhmath]

Bài 3: Cho $M=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ với $x,y,z> 0$ và $x+y+z= 1$
CMR $M< \frac{4}{27}$
(bài này từ bậc cao so sánh nhỏ hơn bậc thấp kiểu gì nhỉ? dùng đạo hàm đưa về hai ẩn thì lại ra nhiều trường hợp quá)
Bài 4: Cho x, y là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}-4x-6y+12=0 \Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$.
Tìm GTLN, GTNN của $A=x^{2}+y^{2}$.
(bài này em giải như sau:
$x^{2}+y^{2}-4x-6y+12=0 \Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$
hay x,y là tọa độ của điểm A thuộc đường tròn tâm I(2;3) có R=1.
$x^{2}+y^{2}=A$ hay x, y cũng là tọa độ của A thuộc đường tròn tâm O(0;0) bán kính $\sqrt{A}$ => để hệ có nghiệm thì hai đường tròn phải có điểm chung =>$\sqrt{13}-1\leq \sqrt{A}\leq \sqrt{13}+1\Leftrightarrow 14-2\sqrt{13}\leq A\leq 14+2\sqrt{13}$) làm vậy đúng chưa nhỉ? liệu còn hướng làm nào khác không?

Trả lời câu hỏi 2. Mình có 1 hướng làm khác dùng kiến thức THCS và không hề dùng pp hàm số .
Từ giả thiết cho ta:
$(x-2)^2+(y-3)^2=1$Đặt $a=x-2,b=y-3$ Ta có :
$a^2+b^2=1$
Và $x^2+y^2=(a+2)^2+(b+3)^2=a^2+b^2+4a+6b+13=14+4a+6b$
Đến đây.Một cách tự nhiên,ta nghĩ đên Bunyakovsky 2 số:
$(4a+6b)^2\leq (4^2+6^2)(a^2+b^2)=(16+36)=52\Rightarrow -2\sqrt{13}\leq 4a+6b\leq 2\sqrt{13}\Rightarrow 14-2\sqrt{13}\leq x^2+y^2\leq 14+2\sqrt{13}$Ra được Min và max cũng như dễ dàng tìm x,y.
Và mình cũng dựa trên bài làm trên để trả lời câu số 1 là bạn làm đúng rồi đó

[WhjteShadow]

Bài 3: Cho $M=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ với $x,y,z> 0$ và $x+y+z= 1$
CMR $M< \frac{4}{27}$

Do $x,y,z>0$ nên ta sẽ chứng minh 1 bài toán mạnh hơn:
$$x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3$$
Thật vậy giả sử $y$ là số nằm giữa $x$ và $z$ thì ta có $z(y-x)(y-z)\leq 0$
$$\Leftrightarrow y^2z+z^2x\leq z^2y+xyz \Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq x^2y+z^2y+2xyz$$
Mà the0 $AM-GM$ ta có:
$x^2y+z^2y+2xyz=y(x+z)^2=\frac{2y.(x+z)(x+z)}{2} \leq \frac{4(x+y+z)^3}{27}$
Vậy nên $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3$.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$
Đây là 1 bổ đề quan trọng để chứng minh khá nhiều bài bất đẳng thức ><