Chủ đề này có 2 trả lời

[NguyenTaiLongYoshi]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. CMR:
$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq3$

[le_hoang1995]

Áp dụng bđt AM - GM, ta có:

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+ \sqrt {\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{a+b}{c+ab}.\frac{b+c}{a+bc}.\frac{c+a}{b+ca}}$

Do đó, ta đưa được về chứng minh bđt sau:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$

Mặt khác, theo AM - GM, ta lại có:

$(a+bc)(b+ca)\leq \frac{(a+b)^2(c+1)^2}{4} $

Tương tự với các bđt khác, nhân theo từng vế, ta được:

$(a+bc)(b+ca)(c+ab)\leq (a+b)(b+c)(c+a)\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{8}$

Theo AM - GM, dễ thấy $(a+1)(b+1)(c+1)\leq 8$

Do đó, ta chứng minh được: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$

Suy ra, bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

[byond]

thanks bạn nhiều