Chủ đề này có 2 trả lời

[vo van duc]

$D_{n}=\begin{vmatrix} x_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} & ... & a_{1}b_{n}\\ a_{2}b_{1} & x_{2} & a_{2}b_{3} & ... & a_{2}b_{n}\\ a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & x_{3} & ... & a_{3}b_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & a_{n}b_{3} & ... & x_{n} \end{vmatrix}$

[zarya]

$D_{n}=\begin{vmatrix} x_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} & ... & a_{1}b_{n}\\ a_{2}b_{1} & x_{2} & a_{2}b_{3} & ... & a_{2}b_{n}\\ a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & x_{3} & ... & a_{3}b_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & a_{n}b_{3} & ... & x_{n} \end{vmatrix}$

 

Rút $b_1$ từ cột thứ nhất ra, rồi lấy $-b_i$ nhân với cột thứ nhất, lần lượt cộng vào các cột thứ $i$, ta được:

 

$b_{1}\begin{vmatrix} \frac{x_1}{b_1}& a_1b_2-\frac{x_1b_2}{b_1} & a_1b_3-\frac{x_1b_3}{b_1} & ... & a_1b_n-\frac{x_1b_n}{b_1}\\ a_2 & x_2-a_2b_2 & 0 & ... & 0\\ a_3 & 0 & x_3-a_3b_3 & ... & 0\\ . & . & . & ... & .\\ a_n & 0 & 0 & ... & x_n-a_nb_n \end{vmatrix}$

 

Nhân $b_1$ vào hàng đầu tiên, ta viết lại định thức trên như sau:

 

$=\begin{vmatrix} x_1 & (a_1b_1-x_1)b_2 & (a_1b_1-x_1)b_3 & ... & (a_1b_1-x_1)b_{n-1} & (a_1b_1-x_1)b_n\\ a_2 & x_2-a_2b_2 & 0 & ... & 0 & 0\\ a_3 & 0 & x_3-a_3b_3 & ... & 0 &0 \\ . & . & . & ... & . & .\\ a_{n-1} & 0 & 0 & ... & x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1} & 0\\ a_n & 0 & 0 & ... & 0 & x_n-a_nb_n \end{vmatrix}$

 

Khai triển Laplace đối với dòng cuối cùng. Định thức con đi với $x_n-a_nb_n$ chính là $D_{n-1}$ Với định thức con cấp (n-1) đi với thừa số $a_n$, ta khai triển Laplace tiếp với thừa số $(a_1b_1-x_1)b_n$, được định thức con cấp (n-2) là ma trận chéo. Giá trị của định thức con này bằng:  $(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})$.

 

Ta có: 

$D_n=(x_n-a_nb_n)D_{n-1}+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})a_nb_n$    $(*)$

Tương tự:

$D_{n-1}=(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})D_{n-2}+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)...(x_{n-2}-a_{n-2}b_{n-2})a_{n-1}b_{n-1}$

...

Mặt khác (tính được):

$D_1=x_1$

$D_2=x_1(x_2-a_2b_2)+(x_1-a_1b_1)a_2b_2$

$D_3=x_1(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)+(x_1-a_1b_1)a_2b_2(x_3-a_3b_3)+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)a_3b_3$

...

 

Ta có thể dự đoán:

$D_n=x_1(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})(x_n-a_nb_n)+(x_1-a_1b_1)[a_2b_2](x_3-a_3b_3)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})(x_n-a_nb_n)+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)[a_3b_3]...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})(x_n-a_nb_n)+...+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)...[a_{n-1}b_{n-1}](x_n-a_nb_n)+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})[a_nb_n]$

 

Tích $a_ib_i$ được đưa vào dấu ngoặc vuông $[ ]$ để dễ nhận thấy. Có thể dễ dàng chứng minh công thức trên bằng quy nạp theo hệ thức qui hồi $(*)$. Vậy $D_n$ đã nêu ở trên là định thức cần phải tính.

 

P/s: Mong các bạn có cách nào hay thì cùng vào trao đổi, bàn luận nhé.

[zarya]

Bài này còn một phương pháp nữa là tách $x_i=(x_i-a_ib_i)+a_ib_i)$ rồi dùng đa tuyến tính. Kết quả nhận được tương tự như trên. Ai quan tâm có thể tự biến đổi nhé.