Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tính định thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-08-2012 - 08:52

$D_{n}=\begin{vmatrix} x_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} & ... & a_{1}b_{n}\\ a_{2}b_{1} & x_{2} & a_{2}b_{3} & ... & a_{2}b_{n}\\ a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & x_{3} & ... & a_{3}b_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & a_{n}b_{3} & ... & x_{n} \end{vmatrix}$

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 zarya

zarya

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết

Đã gửi 08-08-2013 - 22:06

$D_{n}=\begin{vmatrix} x_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} & ... & a_{1}b_{n}\\ a_{2}b_{1} & x_{2} & a_{2}b_{3} & ... & a_{2}b_{n}\\ a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & x_{3} & ... & a_{3}b_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & a_{n}b_{3} & ... & x_{n} \end{vmatrix}$

 

Rút $b_1$ từ cột thứ nhất ra, rồi lấy $-b_i$ nhân với cột thứ nhất, lần lượt cộng vào các cột thứ $i$, ta được:

 

$b_{1}\begin{vmatrix} \frac{x_1}{b_1}& a_1b_2-\frac{x_1b_2}{b_1} & a_1b_3-\frac{x_1b_3}{b_1} & ... & a_1b_n-\frac{x_1b_n}{b_1}\\ a_2 & x_2-a_2b_2 & 0 & ... & 0\\ a_3 & 0 & x_3-a_3b_3 & ... & 0\\ . & . & . & ... & .\\ a_n & 0 & 0 & ... & x_n-a_nb_n \end{vmatrix}$

 

Nhân $b_1$ vào hàng đầu tiên, ta viết lại định thức trên như sau:

 

$=\begin{vmatrix} x_1 & (a_1b_1-x_1)b_2 & (a_1b_1-x_1)b_3 & ... & (a_1b_1-x_1)b_{n-1} & (a_1b_1-x_1)b_n\\ a_2 & x_2-a_2b_2 & 0 & ... & 0 & 0\\ a_3 & 0 & x_3-a_3b_3 & ... & 0 &0 \\ . & . & . & ... & . & .\\ a_{n-1} & 0 & 0 & ... & x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1} & 0\\ a_n & 0 & 0 & ... & 0 & x_n-a_nb_n \end{vmatrix}$

 

Khai triển Laplace đối với dòng cuối cùng. Định thức con đi với $x_n-a_nb_n$ chính là $D_{n-1}$ Với định thức con cấp (n-1) đi với thừa số $a_n$, ta khai triển Laplace tiếp với thừa số $(a_1b_1-x_1)b_n$, được định thức con cấp (n-2) là ma trận chéo. Giá trị của định thức con này bằng:  $(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})$.

 

Ta có: 

$D_n=(x_n-a_nb_n)D_{n-1}+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})a_nb_n$    $(*)$

Tương tự:

$D_{n-1}=(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})D_{n-2}+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)...(x_{n-2}-a_{n-2}b_{n-2})a_{n-1}b_{n-1}$

...

Mặt khác (tính được):

$D_1=x_1$

$D_2=x_1(x_2-a_2b_2)+(x_1-a_1b_1)a_2b_2$

$D_3=x_1(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)+(x_1-a_1b_1)a_2b_2(x_3-a_3b_3)+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)a_3b_3$

...

 

Ta có thể dự đoán:

$D_n=x_1(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})(x_n-a_nb_n)+(x_1-a_1b_1)[a_2b_2](x_3-a_3b_3)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})(x_n-a_nb_n)+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)[a_3b_3]...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})(x_n-a_nb_n)+...+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)...[a_{n-1}b_{n-1}](x_n-a_nb_n)+(x_1-a_1b_1)(x_2-a_2b_2)(x_3-a_3b_3)...(x_{n-1}-a_{n-1}b_{n-1})[a_nb_n]$

 

Tích $a_ib_i$ được đưa vào dấu ngoặc vuông $[ ]$ để dễ nhận thấy. Có thể dễ dàng chứng minh công thức trên bằng quy nạp theo hệ thức qui hồi $(*)$. Vậy $D_n$ đã nêu ở trên là định thức cần phải tính.

 

P/s: Mong các bạn có cách nào hay thì cùng vào trao đổi, bàn luận nhé.



#3 zarya

zarya

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết

Đã gửi 10-08-2013 - 01:32

Bài này còn một phương pháp nữa là tách $x_i=(x_i-a_ib_i)+a_ib_i)$ rồi dùng đa tuyến tính. Kết quả nhận được tương tự như trên. Ai quan tâm có thể tự biến đổi nhé.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh