Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^2+y^2+xy-x^2y^2=0$

* * - - - 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
hieuht2012

hieuht2012

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$x^2+y^2+xy-x^2y^2=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuht2012: 15-08-2012 - 10:12

QT CT

#2
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
Mình làm thế này không biết có đúng không:
PT$\Leftrightarrow (x+y)^{2}=(xy+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4} \Leftrightarrow (xy-x-y+\frac{1}{2})(xy+x+y+\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$
Vì x,y nguyên dương nên x,y>0
Có $(xy+x+y+\frac{1}{2})\geqslant 1+1+1+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$
$(xy-x-y+\frac{1}{2})> 0\Rightarrow (xy-x-y+\frac{1}{2})\geqslant \frac{1}{2}$
Vậy VT $\geqslant \frac{7}{2}.\frac{1}{2}=\frac{7}{4}> \frac{1}{4}$
Vậy PT vô nghiệm
P/s:Mọi người thấy bài mình có vấn đề gì không?

Hình đã gửi


#3
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Cách khác theo cách của doxuantung97
Từ giả thiết ta được !
$$(2xy+2y+2x+1)(2xy-2y-2x+1)=1$$
Mà $2xy+2y+2x+1>2xy-2y-2x+1$ và $1=1.1=(-1).(-1)$
Suy ra vô lý !

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$x^2+y^2+xy-x^2y^2=0$

Cách khác:
$\Leftrightarrow (2x+y)^{2}=y^{2}(4x^{2}-3)$
Mà $y> 0\Rightarrow$$4x^{2}-3$ là số chính phương
$\Rightarrow 4x^{2}-3=a^{2}$
$\Leftrightarrow (2x-a)(2x+a)=3$
$\Leftrightarrow x=k=1$ và x=1;k=-1
Đến đây thế lại thì ra vô nghiệm

#5
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Cách khác:
$\Leftrightarrow (2x+y)^{2}=y^{2}(4x^{2}-3)$
Mà $y> 0\Rightarrow 4x^{2}-3$ là số chính phương
$\Rightarrow 4x^{2}-3=a^{2}$

Đến chỗ này thì phải nói là bình phương của số hữu tỉ chứ nhỉ ! Chắc lời giải này không được rồi !

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#6
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
Mình thấy cả 3 cách đều khá là không hay và khá rập khuôn,mình xin nếu 1 cách cực ngắn
$PT \Leftrightarrow x^2+y^2+xy=x^2y^2\Leftrightarrow (x+y)^2=xy(xy+1)$ nên $xy(xy+1)$ là số chính phương mà đây lại là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 số =0.Nhưng đây lại là điều vô lí vì $xy,xy+1\geq 1> 0$ nên có đpcm
Cách giải này cũng giúp chúng ta giải quyết ngắn gọn nếu đề yêu cầu giải PT nghiệm nguyên

Đến chỗ này thì phải nói là bình phương của số hữu tỉ chứ nhỉ ! Chắc lời giải này không được rồi !

Là scp đúng rồi bạn à vì $4x^2-3$ nguyên nên cách henry đúng rồi nhưng vẫn dài.Bạn có thể tham khảo cách ngắn hơn ở trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 15-08-2012 - 12:17

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#7
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Đến chỗ này thì phải nói là bình phương của số hữu tỉ chứ nhỉ ! Chắc lời giải này không được rồi !

Ta có x nguyên dương $\Rightarrow 4x^{2}\in \mathbb{N},3\in \mathbb{N}$ (1)
Mà x nguyên dương $\Rightarrow (4x^{2}-3)\geq 1$ (2)
Từ $(1),(2)\Rightarrow (4x^{2}-3)$ là số chính phương

#8
toancqt115

toancqt115

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$x^2+y^2+xy-x^2y^2=0$

k vô nghiệm đâu
cách 1 lập dental pt ẩn x, xét y bằng 0, khác 0 suy ra đc 1 nghiệm là x=0 y=0
cách 2 phân tích được (x+y)^2=xy(xy+1)
vì VT là SCP nên VP một trong 2 thừa số phải bằng 0
từ đó đc hai nghiệm nữa là x=-1 y=1 hoặc x=1 y=-1
KL pt có 3 nghiệm nguyên



#9
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

k vô nghiệm đâu
cách 1 lập dental pt ẩn x, xét y bằng 0, khác 0 suy ra đc 1 nghiệm là x=0 y=0
cách 2 phân tích được (x+y)^2=xy(xy+1)
vì VT là SCP nên VP một trong 2 thừa số phải bằng 0
từ đó đc hai nghiệm nữa là x=-1 y=1 hoặc x=1 y=-1
KL pt có 3 nghiệm nguyên

Nghiệm nguyên dương nha bạn.


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#10
Kiratran

Kiratran

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

$(x+y)^2 = xy(xy+1)$

ta thấy $xy$ và $xy+1$ là 2 scp liên tiếp nên

$xy=0 hoặc xy=-1$

giải 2 th ra ta đều k tìm được $x,y$ thỏa mãn đk => pt vô nghiệm


Duyên do trời làm vương vấn một đời.


#11
toancqt115

toancqt115

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Nghiệm nguyên dương nha bạn.

ừ. quên mất

 

Nghiệm nguyên dương nha bạn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toancqt115: 30-06-2017 - 20:03


#12
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

nghiệm nguyên thì có ,còn dương thì không 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh