#1
Đã gửi 15-08-2012 - 11:56
$$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2 \le 6\sqrt{3}R^2(2R-r)$$
#2
Đã gửi 04-07-2014 - 03:00
Bài toán: Ký hiệu $a,b,c,R,r$ lần lượt là độ dài các cạnh,bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.Chứng minh:
$$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2 \le 6\sqrt{3}R^2(2R-r)$$
Gọi tam giác đã cho là $ABC$ với độ dài các cạnh là $a=BC, b=CA, c=AB$.Trước tiên chúng ta chứng minh đẳng thức sau đây:
$$a(b+c-a)^2 + b(a+c-b)^2+c(a+b-c)^2 = 16R^2(2R-r)\sin A\sin B\sin C.$$
Mình nghĩ là có nhiều cách để chứng minh đẳng thức này. Sau đây mình trình bày (sơ lược) một cách chứng minh "hình học". Gọi $M,N,P$ là các tiếp điểm của $BC, CA, AB$ với đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ (respectively). Khi đó $AP=AN=\frac{b+c-a}{2}$ và
$$S(APN)= \frac{a(b+c-a)^2}{16R}.$$
Làm tương tự cho 2 tam giác con còn lại rồi cộng lại ta được
$$16 R\left[ S(ABC)-S(MNP)\right] = a(b+c-a)^2 + b(a+c-b)^2+c(a+b-c)^2.$$
Các góc của tam giác $MNP$ lần lượt bằng $\frac{B+C}{2},\frac{A+C}{2}, \frac{A+B}{2}$. Đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác này chính là $r$. Ta cũng có những điều sau đây:
$$S(ABC)= 2R^2 \sin A \sin B \sin C, \ \ S(MNP)= 2r^2 \sin \frac{B+C}{2} \sin \frac{B+C}{2} \sin \frac{A+B}{2}.$$
Chú ý thêm là $r= 4R\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$. Từ đó ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Cuối cùng thì ta chỉ cần áp dụng BDT quen thuộc cho $\sin A \sin B \sin C$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 04-07-2014 - 03:04
- E. Galois, nguyenlyninhkhang, luuvanthai và 5 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh