$\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a+b}+\frac{b^{\frac{5}{2}}}{b+c}+\frac{c^{\frac{5}{2}}}{c+a}$
Vậy khi thay $\frac{5}{2} bởi \frac{3}{2}$ thì sao?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-08-2012 - 22:31
#1
Đã gửi 15-08-2012 - 12:49
DBSK
-
- Thành viên
-
- 42 Bài viết
Binh nhất
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn : $abc=1$ . Tìm min:
$\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a+b}+\frac{b^{\frac{5}{2}}}{b+c}+\frac{c^{\frac{5}{2}}}{c+a}$
Vậy khi thay $\frac{5}{2} bởi \frac{3}{2}$ thì sao?
$\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a+b}+\frac{b^{\frac{5}{2}}}{b+c}+\frac{c^{\frac{5}{2}}}{c+a}$
Vậy khi thay $\frac{5}{2} bởi \frac{3}{2}$ thì sao?
#2
Đã gửi 15-08-2012 - 13:14
WhjteShadow
-
- Phó Quản lý Toán Ứng dụ
-
- 1323 Bài viết
Thượng úy
Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề:
Bổ đề: Với mọi số thực dương $a,b,c$ và $k\geq \frac{3}{2}$ thì ta có bất đẳng thức:
$$\frac{a^k}{a+b}+\frac{b^k}{b+c}+\frac{c^k}{c+a}\geq \frac{a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1}}{2}$$
Chứng minh:
Thật vậy ta có $Q.e.D\Leftrightarrow \frac{a^{k-1}.(a-b)}{a+b}+\frac{b^{k-1}.(b-c)}{b+c}+\frac{c^{k-1}.(c-a)}{c+a}\geq 0$
Sử dụng kết quả sau với $a,b,c>0$ ta sẽ có ngay kết quả bài toán:
$$\frac{a^{k-1}.(a-b)}{a+b}\geq \frac{a^{k-1}-b^{k-1}}{2(k-1)}$$
$$\Leftrightarrow 2(k-1).a^{k-1}.(a-b)-(a^{k-1}-b^{k-1})(a+b)\geq 0$$
Khai triển và rút gọn thì bất đẳng thức tương đương với
$$\Leftrightarrow (2k-3)a^k+b^k+ab^{k-1}\geq (2k-1)a^{k-1}b$$
Nhưng bất đẳng thức cuối lại đúng the0 $AM-GM$ ch0 $2k-1$ số.Vậy ta có ĐPCM.
Quay lại với bài toán.TH $k=\frac{5}{2}$ ta được:
$\frac{a^\frac{5}{2}}{a+b}+\frac{b^\frac{5}{2}}{b+c}+\frac{c^\frac{5}{2}}{c+a}\geq \frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}}{2}\geq \frac{3}{2}$ (Do $abc=1$)
Còn TH $k=\frac{3}{2}$ tương tự ta cũng có được:
$\frac{a^\frac{3}{2}}{a+b}+\frac{b^\frac{3}{2}}{b+c}+\frac{c^\frac{3}{2}}{c+a}\geq \frac{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}+c^{\frac{1}{2}}}{2}\geq \frac{3}{2}$ (Do $abc=1$)
Kết thúc chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bổ đề: Với mọi số thực dương $a,b,c$ và $k\geq \frac{3}{2}$ thì ta có bất đẳng thức:
$$\frac{a^k}{a+b}+\frac{b^k}{b+c}+\frac{c^k}{c+a}\geq \frac{a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1}}{2}$$
Chứng minh:
Thật vậy ta có $Q.e.D\Leftrightarrow \frac{a^{k-1}.(a-b)}{a+b}+\frac{b^{k-1}.(b-c)}{b+c}+\frac{c^{k-1}.(c-a)}{c+a}\geq 0$
Sử dụng kết quả sau với $a,b,c>0$ ta sẽ có ngay kết quả bài toán:
$$\frac{a^{k-1}.(a-b)}{a+b}\geq \frac{a^{k-1}-b^{k-1}}{2(k-1)}$$
$$\Leftrightarrow 2(k-1).a^{k-1}.(a-b)-(a^{k-1}-b^{k-1})(a+b)\geq 0$$
Khai triển và rút gọn thì bất đẳng thức tương đương với
$$\Leftrightarrow (2k-3)a^k+b^k+ab^{k-1}\geq (2k-1)a^{k-1}b$$
Nhưng bất đẳng thức cuối lại đúng the0 $AM-GM$ ch0 $2k-1$ số.Vậy ta có ĐPCM.
Quay lại với bài toán.TH $k=\frac{5}{2}$ ta được:
$\frac{a^\frac{5}{2}}{a+b}+\frac{b^\frac{5}{2}}{b+c}+\frac{c^\frac{5}{2}}{c+a}\geq \frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}}{2}\geq \frac{3}{2}$ (Do $abc=1$)
Còn TH $k=\frac{3}{2}$ tương tự ta cũng có được:
$\frac{a^\frac{3}{2}}{a+b}+\frac{b^\frac{3}{2}}{b+c}+\frac{c^\frac{3}{2}}{c+a}\geq \frac{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}+c^{\frac{1}{2}}}{2}\geq \frac{3}{2}$ (Do $abc=1$)
Kết thúc chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 26-10-2012 - 20:21
- Ispectorgadget, alex_hoang, HÀ QUỐC ĐẠT và 3 người khác yêu thích
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
#3
Đã gửi 16-08-2012 - 07:40
DBSK
-
- Thành viên
-
- 42 Bài viết
Binh nhất
Bạn giải thích cho mình rõ hơn chỗ "Nhưng bất đẳng thức cuối lại đúng theo AM-GM cho 2k-1 số "
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
WhjteShadow:$AM-GM$ ch0 $2k-1$ số này này bạn $(2k-3).a^k+b^k+ab^{k-1}\geq (2k-1)\sqrt[2k-1]{a^{(k-1)(2k-1)}.b^{2k-1}}=(2k-1).a^{k-1}.b$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
WhjteShadow:$AM-GM$ ch0 $2k-1$ số này này bạn $(2k-3).a^k+b^k+ab^{k-1}\geq (2k-1)\sqrt[2k-1]{a^{(k-1)(2k-1)}.b^{2k-1}}=(2k-1).a^{k-1}.b$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 16-08-2012 - 16:59
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
