Chủ đề này có 3 trả lời

[landautienkhigapem]

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $ab^2+bc^2+ca^2=3$.
Chứng minh: $\sqrt[3]{a + 7} + \sqrt[3]{b + 7} + \sqrt[3]{c + 7} \le 2\left( a^4 + b^4 + c^4 \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi landautienkhigapem: 15-08-2012 - 20:54

[Tham Lang]

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $ab^2+bc^2+ca^2=3$.
Chứng minh: $\sqrt[3]{a + 7} + \sqrt[3]{b + 7} + \sqrt[3]{c + 7} \le 2\left( a^4 + b^4 + c^4 \right)$

Lời giải :
Ta có $\sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7} =\dfrac{\sqrt[3]{a+7}.2.2+\sqrt[3]{b+7}.2.2+\sqrt[3]{c+7}.2.2}{4} \le \dfrac{a+7+8+8+b+7+8+8+c+7+8+8}{12}=\dfrac{a+b+c+69}{12}$
Ta lại có :
$3=ab^2+bc^2+ca^2 \le a^3+b^3+c^3$
Mặt khác, áp dụng BĐT Chebyshev, ta có :
$a^4+b^4+c^4 \ge \dfrac{\left (a^3+b^3+c^3\right )(a+b+c)}{3} \ge a+b+c (1) $
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM , ta lại có :
$a^4+a^4+a^4 +1\ge 4a^3$
Tương tự với các số còn lại, suy ra :
$3\left (a^4+b^4+c^4 +1\right )\ge 4\left (a^3+b^3+c^3\right )\ge 12 \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4 \ge 3 (2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra $\dfrac{a+b+c+69}{12} \le 2\left (a^4+b^4+c^4\right )$
BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[Katyusha]

$3=ab^2+bc^2+ca^2 \le a^3+b^3+c^3$

Chứng minh ý này như thế nào vậy bạn

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Chứng minh ý này như thế nào vậy bạn

$a^{3}+b^{3}+b^{3}\geq 3ab^{2}$.Làm tương tự rồi cộng lại