Cho $n \ge 2,n \in N$. Chứng minh:
\[{\left( {C_n^1} \right)^2} + 2\left( {C_n^2} \right) + ... + n{\left( {C_n^n} \right)^2} = \frac{1}{2}n.C_{2n}^2\]
Chứng minh: ${(C_n^1)^2} + 2(C_n^2) + ... + n{(C_n^n)^2} = \frac{1}{2}n.C_{2n}^2$
Bắt đầu bởi landautienkhigapem, 15-08-2012 - 20:59
#2
Đã gửi 16-08-2012 - 23:26
Nguyễn Hoàng Lâm
-
- Thành viên
-
- 312 Bài viết
Sĩ quan
Cho $n \ge 2,n \in N$. Chứng minh:
\[{\left( {C_n^1} \right)^2} + 2\left( {C_n^2} \right) + ... + n{\left( {C_n^n} \right)^2} = \frac{1}{2}n.C_{2n}^2\]
Xét khai triển $ (x+1)^ n = C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n $
Đạo hàm 2 vế ta được : $ n(x+1)^{n-1}= C_n^1+2C_n^2x+...+nC_n^nx^{n-1} $
Lại thấy : $ (x+1)^ n=C_n^0x^n+C_n^1x^{n-1} + ...+c_n^n $
Suy ra : $ n(x+1)^{n-1}(x+1)^ n=n(x+1)^{2n-1}= (C_n^1+2C_n^2x+...+nC_n^nx^{n-1})(C_n^0x^n+C_n^1x^{n-1} + ...+c_n^n) $
Như vậy : $ S= ( C_n^1)^2+ 2(C_n^2)^2+...+n(C_n^n)^2 $ là hệ số của $ x^{n-1} $ .
Do vậy ta có : $ S =n.C_{2n-1}^{n-1}=\frac{1}{2}n.C_{2n}^n $
P/s : Mình có sai phần nào không mà khác với đáp án cần chứng mình nhỉ ?
- Mai Duc Khai và Khanh 6c Hoang Liet thích
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
