Đến nội dung

Hình ảnh

Topic nhận đề PT, BPT, HPT, HBPT đại số


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 24 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu.

Điều 3. Phương thức thi đấu, cách tính điểm:
a. Phương thức thi đấu:

- Trước mỗi trận, các toán thủ nộp đề cho BTC, BTC chọn 1 đề thi đấu. Đề thi được chọn là của toán thủ nào thì toán thủ đó gọi là toán thủ ra đề.Toán thủ ra đề không phải làm bài. (BTC đảm bảo nguyên tắc mỗi toán thủ chỉ được chọn đề nhiều nhất 1 lần). Toán thủ đã được chọn đề 1 lần thì những trận sau đó không cần phải nộp đề nữa.
- Trong trường hợp đến hết ngày thứ Tư hàng tuần mà không có toán thủ nào nộp đề, BTC sẽ chỉ định toán thủ có SBD nhỏ nhất (chưa có đề được chọn) phải ra đề.
...

b. Cách tính điểm
...

+ Nếu ra đề sai, đề không đúng chủ đề định sẵn, đề vượt quá cấp học hoặc không giải được đề mình ra, toán thủ ra đề được −30 điểm.
+ Nếu đến lượt mà không ra đề được −20 điểm.
+ Ra đề mà không post đáp án đúng thời gian được −10 điểm
...


Điều 6. Quy định đề bài:
a. Nội dung:
-
Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu của THPT. Kiến thức dùng để giải bài không vượt quá kiến thức thi ĐH
- Đề bài không được ở dạng thách đố, cách giải ngặt ngèo thông qua những bổ đề quá khó, không copy nguyên văn từ đề thi Olympic hoặc HSG cấp tỉnh trở lên.
b. Hình thức:
- Đề bài được gõ Latex rõ ràng.



BTC yêu cầu các toán thủ nộp đề về PT, BPT, HPT, HBPT đại số. Đề cần nộp cùng đáp án

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Bài toán: Giải hệ phương trình:
$$ \begin{cases} \sqrt{2{{\left( x-y \right)}^{2}}+10x-6y+12}-\sqrt{y}=\sqrt{x+2} \\ {{\left( y-2+\frac{7-y}{\sqrt{x}+1} \right)}^{2}}=\frac{-192\left( \sqrt{x}+1 \right)}{5\sqrt{x}-x\sqrt{x}} \end{cases}$$
Lời giải: Điều kiện: $x >5; y \ge 0$.
Phương trình thứ nhất tương đương với:
$$\sqrt{2(x+2-y)^2+2(x+2+y)}=\sqrt{x+2}+\sqrt{x}$$
Đặt: $a=\sqrt{x+2}; (a>\sqrt{7}); b=\sqrt{y}; (b \ge 0)$.
Phương trình trên tương đương với:
$$\sqrt{2(a^2-b^2)^2+2(a^2+b^2)}=a+b$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2 [2(a+b)^2+1]=0$$
$$\Leftrightarrow a=b$$
Hay:
$$\sqrt{x+2}=y$$
$$\Leftrightarrow x+2=y$$
Thế vào phương trình dưới ta được:
$$(x+\frac{5-x}{\sqrt{x}+1})^2=\frac{-192(\sqrt{x}+1)}{5\sqrt{x}-x\sqrt{x}}$$
Ta sẽ đặt: $c=\sqrt{x}; c \ge \sqrt{5}$.
Thay vào phương trình ta được:
$$(c^2+\frac{5-c^2}{c+1})^2=\frac{-192(c+1)}{5c-c^3}$$
$$\Leftrightarrow (\frac{c^3+5}{c+1})^2=\frac{-192(c+1)}{5c-c^3}$$
$$\Leftrightarrow (c^3+5)^2(5c-c^3)+192(c+1)^3=0$$
$$\Leftrightarrow -(c^3+5)^3+5(c+1)(c^3+5)^2+192(c+1)^3=0$$
Chia cả 2 vế cho $\ (c+1)^3$, và đặt: $\ t=\frac{c^3+5}{c+1}$, ta thu được phương trình:
$$-t^3+5t^2+192=0$$
$$\Leftrightarrow (t-8)(t^2+3t+24)=0$$
$$\Leftrightarrow t=8 ; t^2+3t+24=0 \,\ \mbox{(vô nghiệm)}$$
Với:
$$\ t=8 \Leftrightarrow c^3+5=8(c+1)$$
$$\Leftrightarrow c^3-8c-3=0$$
$$\Leftrightarrow (c-3)(c^2+3c+1)=0$$
$$\Leftrightarrow c=3$$
$$\Leftrightarrow x=9; y=11$$
Phương trình còn lại là: $\ c^2+3c+1=0$ có hai nghiệm nhưng không thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: $\boxed{x=9;x=11}$.

Thích ngủ.


#3
abcdef97

abcdef97

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
Để của abcdef97:
Giải hệ phương trình nghiệm không âm sau:
$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=1 \\ x^6y^{16}z^4=\frac{1}{134217728^2} \end{matrix}\right.$
Đáp án:
Ta có bổ đề sau:
Với mọi số $a_{1},a_{2},...a_{n}$ không âm và $n\geq 1$ ta có bất đẳng thức:
$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$
Dấu bằng xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$(Đây thực chất là bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm)(Em nghĩ vì đây là cuộc thi MHS dành cho hoc sinh THPT,trong khi đó bất đẳng thức cauchy cho n số được học ở lớp 10 nên em sẽ dùng mà không chứng minh,mong BTC thông qua.
Từ phương trình đầu của hệ cho ta:
$\frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=1\Leftrightarrow \frac{2x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=\frac{1}{x+1}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 8 số,ta có :
$\frac{1}{x+1}=\frac{2x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{z}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^3(z+1)^2}}$
Hoàn toàn tương tự.Ta có :
$\frac{1}{(y+1)}=\frac{3x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^2(y+1)^3(z+1)^2}},\frac{1}{z+1}=\frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}$
Từ các bất đẳng thức thu được ta có:
$\frac{1}{(1+x)^3(1+y)^4(z+1)^2}\geq 8^9\sqrt[8]{\frac{x^{24}y^{32}z^{16}}{(x+1)^{24}(y+1)^{32}(z+1)^{16}}}\Leftrightarrow \frac{1}{(1+x)^3(1+y^4)(z+1)^2}\geq 8^9\frac{x^3y^4z^2}{(1+x)^3(1+y)^4(1+z)^2}\Leftrightarrow x^3y^4z^2\leq \frac{1}{8^9}=\frac{1}{134217728}\Leftrightarrow x^6y^8z^4\leq \frac{1}{34217728^2}$
Vậy để phương trình có nghiệm thì dấu "=" ở các bất đẳng thức cauchy phải xảy ra hay : $\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+1}=\frac{z}{z+1}$ $\Rightarrow \frac{9x}{x+1}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}$ Hay $x=y=z=\frac{1}{8}$ THử lại ta thấy đúng là nghiệm.

#4
chagtraife

chagtraife

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
Đề: giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=4 & & \\ \sqrt{x+6}+\sqrt{y+4}=6& & \end{matrix}\right.$
Giải:
Điều kiện:$x\geq -1,y\geq 1$
hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}+\sqrt{y-1}+\sqrt{y+4}=10 & & \\ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}+\sqrt{y+4}-\sqrt{y-1}=2 & & \end{matrix}\right.$
Đặt:$u= \sqrt{x+6}+\sqrt{x+1};v= \sqrt{y+4}+\sqrt{y-1} \Rightarrow \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=\frac{5}{u};\sqrt{y+4}-\sqrt{y-1}=\frac{5}{v}$
suy ra:hệ$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u+v=10 & & \\ \frac{5}{u}+\frac{5}{v}=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=5 & & \\ v=5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3 & & \\ y=5 & & \end{matrix}\right.$
vậy nghiệm của hệ là (3;5)

#5
ElenaIP97

ElenaIP97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết
Đề bài: Giải pt
$\sqrt{1+x^2}=\frac{(1+x^2)^3}{6x^5-20x^3+6x}$
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{6x(x^2+1)-32x^3}{(1+x^2)^3}=\frac{6x}{1+x^2}-4(\frac{2x}{1+x^2})^3$
Đặt $x=tg\alpha ,\alpha \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ ta thu được
$cos\alpha =3sin2\alpha -4sin^32\alpha =sin6\alpha \Leftrightarrow cos\alpha =cos(\frac{\pi }{2}-6\alpha )$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \alpha =\frac{\pi }{2}-6a+2k\pi \\\alpha =6\alpha -\frac{\pi }{2}=2k\pi \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \alpha =\frac{\pi }{14}+\frac{k\pi }{7}\\\alpha =\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5} \end{bmatrix}$
Vì $\alpha \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ nên ta thu được
$\alpha =\frac{\pi }{14}$, $\alpha =\frac{3\pi }{14}$, $\alpha =\frac{5\pi }{14}$, $\alpha =\frac{-\pi }{14}$, $\alpha =\frac{-3\pi }{14}$, $\alpha =\frac{-5\pi }{14}$, $\alpha =\frac{\pi }{18}$, $\alpha =\frac{-\pi }{10}$
nhận được nghiệm $x=tg\alpha$ với các giá trị nói trên.
Hình đã gửi

#6
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
Đề bài:
Giải hệ phương trình:
$ \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2 }+x+y=y^{2} \\ x^{4} -4x^{2} y +3x^{2} = - y^{2} \end{matrix}\right.$
Lời giải :
Hệ đã cho $\Leftrightarrow $ \left\{\begin{matrix} x^{2}-2xy+x+y=0 (1)\\ x^{4} -4x^{2} y +3x^{2} + y^{2}=0 (2)\end{matrix}\right.$

Xét $x=0,x=2$ ta thấy hệ có nghiệm $(x;y)=(0;0);(2;2)$
Xét $ {0;2}$ .
Ta có :
$x(x-2).(1)+(2)=x(x-2)(x^{2}-2xy +x+y)+x^{4}-4x^{2}y+3x^{2}=0$
$\Leftrightarrow 2x^{4}-2x^{3}y +x^{2}y -2xy –x^{3} +x^{2}+y^{2}=0$
$\Leftrightarrow 2x^{3}(x-y)+x^{2}(y-x) +(x-y)^{2}=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(2x^{3}-x^{2}+x-y)=0$
$\Leftrightarrow x=y$


TH1: $x=y$ thay vào phương trình $(1)$ ta có
$x(x-2)=0$ (loại)
TH2:$ 2x^{3}-x^{2}+x=0$
Ta có hệ : $ \left\{\begin{matrix} x^{2} -2xy+x+y=0 \\ 2x^{3} -x^2 +x - y=0(*) \end{matrix}\right.$
Cộng từng vế của $2$ phương trình trên ta có :
$2x^{3}-2xy+2x=0$
$\Leftrightarrow 2x(x^{2}-y+1)=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+1=y(x 0)$ thay vào pt $(*)$ ta có:
$ -2x^{3}+x^{2}+1=0$
$\Leftrightarrow x=1$
$\Rightarrow y=2$
Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(0;0);(2;2);(1;2)$

#7
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
Đề bài:
Giải hệ phương trình:
$ \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2 }+x+y=y^{2} \\ x^{4} -4x^{2} y +3x^{2} = - y^{2} \end{matrix}\right.$
Lời giải :
Hệ đã cho $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-2xy+x+y=0 (1)\\ x^{4} -4x^{2} y +3x^{2} + y^{2}=0 (2)\end{matrix}\right.$

Xét $x=0,x=2$ ta thấy hệ có nghiệm $(x;y)=(0;0);(2;2)$
Xét $x\neq 0 ; x \neq 2 $ .

Ta có :
$x(x-2).(1)+(2)=x(x-2)(x^{2}-2xy +x+y)+x^{4}-4x^{2}y+3x^{2}$
$\Rightarrow 2x^{4}-2x^{3}y +x^{2}y -2xy –x^{3} +x^{2}+y^{2}=0$
$\Leftrightarrow 2x^{3}(x-y)+x^{2}(y-x) +(x-y)^{2}=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(2x^{3}-x^{2}+x-y)=0$
$\Leftrightarrow x=y$


TH1: $x=y$ thay vào phương trình $(1)$ ta có
$x(x-2)=0$ (loại do $x\neq 0; x\neq 2 )$

TH2:$ 2x^{3}-x^{2}+x=0$
Ta có hệ : $ \left\{\begin{matrix} x^{2} -2xy+x+y=0 \\ 2x^{3} -x^2 +x - y=0(*) \end{matrix}\right.$
Cộng từng vế của $2$ phương trình trên ta có :
$2x^{3}-2xy+2x=0$
$\Leftrightarrow 2x(x^{2}-y+1)=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+1=y(x \neq 0)$ thay vào pt $(*)$ ta có:
$ -2x^{3}+x^{2}+1=0$
$\Leftrightarrow x=1$
$\Rightarrow y=2$
Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(0;0);(2;2);(1;2)$


#8
diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
bây giờ post đề luôn hay là đợi đến đúng thời hạn mới ra đề ạ?

#9
diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
em muốn hỏi là bây giờ ra đề luôn hay phải đợi đến 20 mới ra đề ạ??

#10
diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
Bài hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=37\\ x^{2}+xz+z^{2}=28\\ y^{2}+yz+z^{2}=19 \end{matrix}\right.$
Giải : Cộng theo từng vế ba phương trình của hệ ta có: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xy+yz+xz=84$
Đặt $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=u\\ xy+yz+xz=v \end{matrix}\right.\Rightarrow 2u+v=84$
Mặt khác đen trừ từng vế phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai, phương trình thứ nhất với phương trình thứ ba và phương trình thứ hai với phương trình thứ ba ta được:$\left\{\begin{matrix} (y-z)(x+y+z)=9\\ (x-z)(x+y+z)=18\\ (x-y)(x+y+z)=9 \end{matrix}\right.$
Bình phương mỗi vế của từng phương trình trong hệ rồi công lại ta được
$2(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-xz)(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz)=486$
Từ đó ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 2u+v=84\\ (u-v)(u+2v)=243 \end{matrix}\right.$ có ngiệm $\left\{\begin{matrix} u=29\\ v=26 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} u=55\\ v=-26 \end{matrix}\right.$
Với $\left\{\begin{matrix} u=29\\ v=26 \end{matrix}\right.$ ta có $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=u+2v=29+2.26=81$ Vậy $x+y+z=\pm 9$
Nếu $x+y+z=9$ thay vào hai phương trình đầu của hệ ta có $\left\{\begin{matrix} y-z=1\\ x-z=2\\ x+y+z=9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=3\\ z=2 \end{matrix}\right.$
Nếu $x+y+z=-9$ thì $\left\{\begin{matrix} y-z=-1\\ x-z=-2\\ x+y+z=-9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-4\\ y=-3\\ z=-2 \end{matrix}\right.$
Với $\left\{\begin{matrix} u=55\\ v=-26 \end{matrix}\right.$ ta có $(x+y+z)^{2}=u+2v=55-2.26=3\Rightarrow x+y+z=\pm \sqrt{3}$ giải tương tự ta được$(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{10}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{-8}{\sqrt{3}} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac{10}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{8}{\sqrt{3}}\\ \end{pmatrix}$
Do đề dài quá nên có chỗ giải tắt mong ban giám khảo thông cảm

#11
dangerous_nicegirl

dangerous_nicegirl

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{3+x^{2}}+2\sqrt{x} =3+\sqrt{y}& & & & & \\ \sqrt{3+y^2}+2\sqrt{y}=3+\sqrt{x}& & & & & \end{matrix}\right.$

#12
NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
em nộp đề

giải hệ PT:

$$ \left\{\begin{matrix}
2x^2y\sqrt{4y^2+1}-\sqrt{x^2+1}=x(1-2xy) & \\ 32y^2-26y+7=2\sqrt[3]{-3x^3+3x^2+x}
&
\end{matrix}\right.$$

lời giải:

ta có: $ PT(1) \Leftrightarrow 2x^2y(\sqrt{4y^2+1}+1)=x+\sqrt{x^2+1} $

xét $ x=0 $ thì dễ thấy không phải là nghiệm

xét $ x \neq 0 $, chia cả 2 vế phương trình (1) cho $ x^2 $ ta được:

$ PT(1) \Leftrightarrow 2y.\sqrt{(2y)^2+1}+2y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}.\sqrt{\frac{1}{x^2}+1} $

xét hàm số $ f(t)=t+t\sqrt{t^2+1} $

ta có $ f'(t)=1+\sqrt{t^2+1}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}>0 \forall t $

nên hàm $ f(t) $ luôn đồng biến

mà ta có $ f(2y)=f(\frac{1}{x}) \Rightarrow 2y=\frac{1}{x} $

thay vào phương trình (2) của hệ ta được:

$ PT(2) \Leftrightarrow \frac{8}{x^2}-\frac{13}{x}+7=2\sqrt[3]{-3x^3+3x^2+x} $

chia cả 2 vế cho $ x $ thì phương trình trở thành:

$ \frac{8}{x^3}-\frac{13}{x^2}+\frac{7}{x}=2\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x}-3} $

đặt $ \frac{1}{x}=a $ ta được:

$ 8a^3-13a^2+7a=2\sqrt[3]{a^2+3a-3}$

$ \Leftrightarrow 8a^3-12a^2+6a-1+2(2a-1)=a^2+3a-3+2\sqrt[3]{a^2+3a-3}$

$ \Leftrightarrow (2a-1)^3+2(2a-1)=a^2+3a-3+2\sqrt[3]{a^2+3a-3} $

xét hàm số $ g(b)=b^3+2b $

ta có $ g'(b)=3b^2+2>0 \forall b$

mà $ g(2a-1)=g(\sqrt[3]{a^2+3a-3}) $

nên $ 2a-1=\sqrt[3]{a^2+3a-3} $

$ \Leftrightarrow 8a^3-12a^2+6a-1=a^2+3a-3 $

$ \Leftrightarrow 8a^3-13a^2+3a+2=0 $

$ \Leftrightarrow (a-1)(8a^2-5a-2)=0 $

với $ a=1 $ thì $ x=1;y=\frac{1}{2} $

với $ a=\frac{5 \pm \sqrt{89}}{16} $ thì $ x=\frac{16}{5 \pm \sqrt{89}}; y=\frac{5 \pm \sqrt{89}}{32} $

vậy hệ có 3 nghiệm là $ (1;\frac{1}{2}); (\frac{16}{5 \pm \sqrt{89}};\frac{5 \pm \sqrt{89}}{32}) $
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#13
hptai1997

hptai1997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
ĐỀ: Cho 3 số không âm a, b, c. Chứng minh:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}$
GIẢI:
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$4a^3+b^3+c^3=a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
Tương tự ta cũng có:
$4b^3+c^3+a^3\geq 6b^2\sqrt{ca};4c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng các vế của bất đẳng thức rồi đơn giản ta được bất đẳng thức cần chứng minh:
$6a^3+6b^3+6c^3\geq 6a^2\sqrt{bc}+6b^2\sqrt{ca}+6c^2\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}$
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.

#14
longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
Đề thi đề nghị MHS trận 1: Nguyễn Thành Long – longqnh – MHS13

Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y \\
\end{array} \right.$

Bài giải:
$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2}(1) \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y(2) \\
\end{array} \right.$
- Nhận xét: $x = y = 0$ là 1 cặp nghiệm của hệ
- Xét $x \ne 0,y \ne 0$, lấy (1) nhân (2):
$\begin{array}{l}
\left( {2x + 3y} \right)\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = \left( {{x^2} + 3xy + {y^2}} \right)\left( {x + 2y} \right) \\
<=> {x^3} + 4{y^3} - 3x{y^2} - 2{x^2}y = 0(*) \\
\end{array}$
Đặt $x = ty$ thì
$\begin{array}{l}
(*) <=> {t^3} - 2{t^2} - 3t + 4 = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
t = 1 \\
t = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2} \\
t = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{2} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$

- Với $t = 1 <=> x = y$ thay vào (2)
$\begin{array}{l}
(2) <=> 3x\left( {x - 1} \right) = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
x = 0({\rm{da xet)}} \\
x = 1 => y = 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$

- Với $t = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}$ thay vào (2)
$\begin{array}{l}
(2) <=> {t^2}{y^2} + 2{y^2} = ty + 2y \\
<=> y\left[ {\left( {{t^2} + 2} \right)y - \left( {t + 2} \right)} \right] = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
y = 0({\rm{da xet}}) \\
y = \frac{{t + 2}}{{{t^2} + 2}} = \frac{{5 + \sqrt {17} }}{{25 + \sqrt {17} }} = > x = \left( {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)\left( {\frac{{5 + \sqrt {17} }}{{25 + \sqrt {17} }}} \right) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$

- Với $t = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}$ thay vào (2)
$\begin{array}{l}
(2) <=> {t^2}{y^2} + 2{y^2} = ty + 2y \\
<=> y\left[ {\left( {{t^2} + 2} \right)y - \left( {t + 2} \right)} \right] = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
y = 0({\rm{da xet}}) \\
y = \frac{{t + 2}}{{{t^2} + 2}} = \frac{{5 - \sqrt {17} }}{{17 - \sqrt {17} }} = > x = \left( {\frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}} \right)\left( {\frac{{5 - \sqrt {17} }}{{17 - \sqrt {17} }}} \right) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$

KẾT LUẬN: Vậy hệ có 4 cặp nghiệm $\left( {x,y} \right)$ là $\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right),\left( {\left( {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)\left( {\frac{{5 + \sqrt {17} }}{{25 + \sqrt {17} }}} \right);\frac{{5 + \sqrt {17} }}{{25 + \sqrt {17} }}} \right),\left( {\left( {\frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}} \right)\left( {\frac{{5 - \sqrt {17} }}{{17 - \sqrt {17} }}} \right),\frac{{5 - \sqrt {17} }}{{17 - \sqrt {17} }}} \right)$

SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#15
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
Em xin nộp đề!
Bài toán: Giải hệ phương trình sau:
\[ \begin{cases}\frac{2x^{2}+4y^{2}}{xy}=4\sqrt{(\frac{2}{y}-\frac{3}{x})(x+y)}-1\\ \sqrt{(x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3}\end{cases}\quad (x,y\in\Bbb{R}) \]
Lời giải:
Từ phương trình đầu ta có:
ĐK: $\frac{{2x}}{y} - \frac{{3y}}{x} - 1 \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{y} \ge \frac{3}{2} \\
\frac{x}{y} \le - 1 \\
\end{array} \right.$
\[\begin{array}{l}
\frac{{2x}}{y} + \frac{{4y}}{x} + 1 = 4\sqrt {\frac{{2x}}{y} - \frac{{3y}}{x} - 1} \\
\Rightarrow \frac{{4{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{16{y^2}}}{{{x^2}}} + 1 + 16 + \frac{{4x}}{y} + \frac{{8y}}{x} = 16\left( {\frac{{2x}}{y} - \frac{{3y}}{x} - 1} \right) = \frac{{32x}}{y} - \frac{{48y}}{x} - 16 \\
\Leftrightarrow \frac{{4{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{16{y^2}}}{{{x^2}}} + 33 - \frac{{28x}}{y} + \frac{{56y}}{x} = 0 \\
\Leftrightarrow \frac{{4{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{16{y^2}}}{{{x^2}}} - \frac{{28x}}{y} + \frac{{56y}}{x} = - 33 \\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{2x}}{y} - 7} \right)^2} + {\left( {\frac{{4y}}{x} + 7} \right)^2} = 65 \\
\end{array}\]
Đặt: $a = \frac{{2x}}{y} - 7,b = \frac{{4x}}{y} + 7$. Từ trên suy ra:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 65 \\
\left( {a + 7} \right)\left( {b - 7} \right) = 8 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 65 \\
ab - 7\left( {a - b} \right) = 57 \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 14\left( {a - b} \right) + 49 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - b + 7} \right)^2} = 0 \\
\Leftrightarrow a - b + 7 = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{y} - 7 = \frac{{4y}}{x} \\
\end{array}\]
Đặt: $t = \frac{x}{y}$. Từ trên suy ra:
\[2{t^2} - 7t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 4 \\
t = - \frac{1}{2} \\
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{y} = 4 \Rightarrow x = 4y\]
Từ phương trìn thứ hai, ta có:
ĐK: $x \ge 0;y \ge - 3$
\[\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - 2x\sqrt {x\left( {y + 3} \right)} + x\left( {y + 3} \right) + 2\left( {x + y + 3} \right)} = \sqrt x + \sqrt {y + 3} \\
\Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {x\left( {y + 3} \right)} } \right)^2} + 2\left( {x + y + 3} \right) = x + y + 3 + 2\sqrt {x\left( {y + 3} \right)} \\
\Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {x\left( {y + 3} \right)} } \right)^2} + x - 2\sqrt {x\left( {y + 3} \right)} + y + 3 = 0 \\
\Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {x\left( {y + 3} \right)} } \right)^2} + {\left( {\sqrt x - \sqrt {y + 3} } \right)^2} = 0 \\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - \sqrt {y + 3} } \right)^2}\left( {x + 1} \right) = 0 \\
\Rightarrow \sqrt x = \sqrt {y + 3} \Leftrightarrow x = y + 3 \\
\end{array}\]
Vậy ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = y + 3 \\
x = 4y \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4 \\
y = 1 \\
\end{array} \right.\]
Thử lại thấy hệ thõa mãn.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {4;1} \right)$

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#16
Banglangtimhy

Banglangtimhy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
giải phương trình $$

#17
Banglangtimhy

Banglangtimhy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
giải phương trình $$\left\{\begin{matrix}
a^{4}b^{2} +b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}=3a^{2}b^{2}c^{2}& \\
\left ( a+b-c \right )^{3}+3\left ( a+b \right )^{2}-9c^{2}+1=\sqrt[3]{4\left ( a+b-c \right )+1} &
\end{matrix}\right.$$

bài làm

từ phương trình (1) ta có $$a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}=3a^{2}b^{2}c^{2}\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}}=3$$

từ đây áp dụng cosi ta thấy $$VT\geq 3\rightarrow a=b=c$$

thay vào phương trình (2) ta có $$\left ( a+b-c \right )^{3}+3\left ( a+b \right )^{2}-9c^{2}+1=\sqrt[3]{4\left ( a+b-c \right )+1}\Leftrightarrow a^{3}+3a^{2}+1=\sqrt[3]{4a+1}\Leftrightarrow \left ( a+1 \right )^{3}+\left ( a+1 \right )=4a+1+\sqrt[3]{4a+1}$$

đặt a+1=x và $$\sqrt[3]{4a+1}=y$$

phương trình trở thành $$x^{3}+x=y^{3}+y\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+y^{2}+xy+1 \right )=0$$
hay$$x=y\Leftrightarrow a+1=\sqrt[3]{4a+1}\Leftrightarrow a^{3}+3a^{2}-4a=0\Leftrightarrow
a=o $$ hoặc a=1 hoặc a=-4

vậy phương trình có 3 cặp nghiệm (0,0.0) và (1,1,1) và (-4,-4,-4)

#18
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết
Hiện nay thấy các bài của: ElenaIP97, NGOCTIEN_A1_DQH là thấy có hình thức "đẹp" (ý CD13 là không dễ nhận ra cách giải), nhưng lại rất tự nhiên, phù hợp với nội dung chương trình phổ thông và ngang tầm với tuyển sinh ĐH, CĐ.

#19
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
Giải phương trình sau :$4x^{3}+3x=m$.

Lời giải:Giả sử $x_{0}$ là nghiệm của phương trình,khi đó:
* Với $x>x_{0}$ thì ta có:

$\left\{\begin{matrix}
4x^{3}> 4x_{0}^{3} & & \\
3x> 3x_0 & &
\end{matrix}\right.
\Rightarrow x>x_0$
Tương tự ta sẽ có:$x<x_0$.
Vậy phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
Đặt $a= \sqrt[3]{m+\sqrt{m^{2}+1}}$ và $\alpha =\frac{1}{2}(a-\frac{1}{a})$,ta được
$4\alpha ^{3}+3\alpha =m$ nên ta sẽ có $x=\alpha$ là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là :
$x=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{m+\sqrt{m^{2}+1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^{2}+1}})$
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#20
luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
Mình xin gửi bài của mình.
Giải phương trình:
$2x^{2}-2x^{4}-5=(x^{4}+2x^{2}+1)(x^{2}-2\sqrt{2}x+1)$
Bài giải

Phương trình đã cho tương đương: $2x^{2}-2x^{4}-5=(x^{4}+2x^{2}+1)[(x-\sqrt{2})^{2}-1]\geq -(x^{4}+2x^{2}+1)$

<=>$x^{4}-4x^{2}+4\leq 0$

<=>$(x^{2}-2)^{2}\leq 0$

<=>$x= \pm \sqrt{2}$

Thử lại nhận nghiệm $x= \sqrt{2}$

Vậy phương trình có nghiêm $x= \sqrt{2}$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh