Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic nhận đề PT, BPT, HPT, HBPT


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 26 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3818 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 16-08-2012 - 22:19

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu.

Điều 3. Phương thức thi đấu, cách tính điểm:
a. Phương thức thi đấu:

- Trước mỗi trận, các toán thủ nộp đề cho BTC, BTC chọn 1 đề thi đấu. Đề thi được chọn là của toán thủ nào thì toán thủ đó gọi là toán thủ ra đề.Toán thủ ra đề không phải làm bài. (BTC đảm bảo nguyên tắc mỗi toán thủ chỉ được chọn đề nhiều nhất 1 lần). Toán thủ đã được chọn đề 1 lần thì những trận sau đó không cần phải nộp đề nữa.
- Trong trường hợp đến hết ngày thứ Tư hàng tuần mà không có toán thủ nào nộp đề, BTC sẽ chỉ định toán thủ có SBD nhỏ nhất (chưa có đề được chọn) phải ra đề.
...

b. Cách tính điểm
...

+ Nếu ra đề sai, đề không đúng chủ đề định sẵn, đề vượt quá cấp học hoặc không giải được đề mình ra, toán thủ ra đề được −30 điểm.
+ Nếu đến lượt mà không ra đề được −20 điểm.
+ Ra đề mà không post đáp án đúng thời gian được −10 điểm
...


Điều 6. Quy định đề bài:
a. Nội dung:
-
Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu không copy nguyên văn từ đề thi Olympic quốc gia trở lên.
b. Hình thức:
- Đề bài được gõ Latex rõ ràng.



BTC yêu cầu các toán thủ nộp đề về PT, BPT, HPT, HBPT. Đề cần nộp cùng đáp án

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 The Gunner

The Gunner

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 17-08-2012 - 18:30

Đề bài: Giải pt
$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$ (1)
Giải: đặt vế trái của $(1)$ là $f_n(x)$ có bậc là $n$. Ta sẽ chứng minh phương trình $f_n(x)=0$ có nghiệm là $x_1=1,x_2=2,...,x_n=n$
Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp
Thật vậy với $n=1$ thì ta có $f_1(x)=1-x$ có nghiệm là $x_1=1$
Giả sử phương trình $f_n(x)=0$ có nghiệm là $x_1=1,x_2=2,...,x_n=n$
Ta có $f_{n+1}(x)=f_n(x)+(-1)^{n+1}.\frac{x(x-1)...(x-n+1)(x-n)}{(n+1)!}$
Suy ra $f_{n+1}(1)=f_{n}(1)+0=0$ ( giả thuyết quy nạp)
chứng minh tương tự ta có $f_{n+1}=0$ có các nghiệm $x_1=1,x_2=2,...,x_n=n$
Do đó bây giờ ta chỉ cần chứng minh$x_{n+1}=n+1$ là 1 nghiệm của $f_{n+1}=0$
Thật vậy ta có
$f_{n+1}(n+1)=1-\frac{n+1}{1}+\frac{(n+1)n}{1.2}+...+(-1)^{n+1}\frac{(n+1)n(n-1)...2.1}{n!}$
$=\binom{n+1}{0}-\binom{n+1}{1}+...+(-1)^{n+1}\binom{n+1}{n+1}$
$=(1-1)^{n+1}=0$
Do đó ta có điều phải chứng minh
vậy nghiệm của phương trình (1) là $x_1=1,x_2=2,...,x_n=n$

Những ngày cuối cùng còn học toán

winwave1995

#3 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 19-08-2012 - 18:25

File đề + đáp án
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#4 cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:lịch sử toán học

Đã gửi 19-08-2012 - 22:30

Đề:
Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^{3}y-y^{4}=278(1)\\ x^{2}y +2xy^{2}+y^{3}=100 (2) \end{matrix}\right.$
Đáp án:
Hpt đc viết lại:
$\left\{\begin{matrix} y(x^{3}-y^{3})=278(1)\\ y(x+y)^{2}=100 (2) \end{matrix}\right.$
suy ra $x>y>0$
pt (2) => $x=\frac{10}{\sqrt{y}}-y(3)$
Thay (3) vao` (1) ta đc: $y[(\frac{10}{\sqrt{y}}-y)^{3}-y^{3}]=278(4)$
Đặt $t=\sqrt{y},t>0$, pt (4) trở thành $t^{2}[(\frac{10}{t}-t^{2})^{3}-(t^{2})^{3}]=278$
$\Leftrightarrow t^{9}-(10-t^{3})^{3}+278t=0$(5).
Xét hàm số $f(t) =t^{9}-(10-t^{3})^{3}+278t$ trên khoảng $(0;+\infty)$.
Ta có: $f'(t)=9t^{8}+9[t(10-t^{3})]^{2}+278>0,\forall t>0$
=> f(t) luôn đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$ & $f(1)=0$. Suy ra pt (5) có nghiệm $t=1$ tức là $\sqrt{y}=1hay=1\Rightarrow x=9$.
vậy hpt đã cho có nghiệm $(x;y)=(9;1)$

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#5 nth1235

nth1235

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 - THPT Thống Nhất A

Đã gửi 20-08-2012 - 09:53

Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$

BL :
ĐK : $0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 50176 (1)$
Với $0 \leq x \leq 1$, ta có :
$ x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})
= \frac{3}{2} . 3x . 2\sqrt{1 + x^2} + \frac{13}{2} . x . 2\sqrt{1 - x^2}
\leq \frac{3}{4}.[9x^2 + 4(1 + x^2)] + \frac{13}{4}.[x^2 + 4(1 - x^2)] = 16 (2)$ (Áp dụng BĐT AM - GM)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{2}{\sqrt{5}} $ (thỏa $(1)$)
Mặt khác, từ $(1)$ suy ra $4.\sqrt{y} \leq 896 (3)$.
Từ $(2) , (3)$ suy ra $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4.\sqrt{y} \leq 912$.
Mà theo đề bài, dấu bằng xảy ra nên $x = \frac{2}{\sqrt{5}} ; y = 50176$
Từ đó, thay $x = \frac{2}{\sqrt{5}} ; y = 50176$ vào hệ, suy ra $z = \sqrt{32}$
Vậy hệ có nghiệm $(x , y , z)$ duy nhất là $(\frac{2}{\sqrt{5}} ; 50176 ; \sqrt{32})$

Nhận xét : Thoạt nhìn hệ trên có vẻ khá phức tạp nhưng nếu chứng minh được bất đẳng thức $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) \leq 16 $ với $ 0 \leq x \leq 1$ thì bài toán trở nên đơn giản hơn.

PS : Ban tổ chức giúp em sửa Latex 1 số chỗ dấu căn hiển thị chưa rõ với. Máy nhà em ko hiểu sao sửa mãi mà không được.

#6 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 20-08-2012 - 12:33

Đề đăng của triethuynhmath:
Giải hệ phương trình nghiệm hữu tỉ sau:
$\left\{\begin{matrix} a\sqrt[3]{16}+b\sqrt[3]{4}+c=0 \\ a+b+c=0 \end{matrix}\right.$
Lời giải em sẽ post sau vì giờ em phải đi học.Mong BTC thông cảm!

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#7 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 20-08-2012 - 17:47

Em xin được gửi bài đề nghị của em.
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} xyz=32\\ x^{2}+4xy+4y^{2}+2z^{2}=96\\ $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ \end{matrix}\right.$

Bài giải


Vì $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy vào phương trình thứ 2 ta có:$x^{2}+4xy+4y^{2}+2z^{2}=x^{2}+2xy+2xy+4y^{2}+z^{2}+z^{2}\geq 6\sqrt[6]{x^{2}.2xy.2xy.4y^{2}.z^{2}.z^{2}}= 6\sqrt[6]{(2xyz)^{4}}$

=>$x^{2}+4xy+4y^{2}+2z^{2}\geq 6\sqrt[6]{(2.32)^{4}}=6.16=96$

Dấu "=" xảy ra <=>$\left\{\begin{matrix} x=z=2y\\ xyz=32 \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} x=z=4\\ y=2 \end{matrix}\right.$

Vậy hệ có nghiệm (4;2;4)

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#8 luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cà Mau
  • Sở thích:Hoạt hình,phim hành động,đọc truyện

Đã gửi 20-08-2012 - 18:42

Mình vừa đăng kí nên cũng gửi bài luôn.
Giải phương trình $x^{2}+3=2(x-cos(15x+n)\pi )$ trong đó :$p(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ,thỏa $p(1)=10,p(2)=20,p(3)=30$ và $n=\frac{p(12)+p(-8)}{10}$

Bài giải:

Theo đề bài ta có $p(1)=10,p(2)=20,p(3)=30$ nên ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} a+b+c=9 (1)\\ 8a+4b+2c+d=4(2)\\ 27a+9b+3c+d=-51(3) \end{matrix}\right.$

Nhân cả 2 vế của (1) với 100,nhân cả 2 vế của (2) với -198,nhân cả 2 vế của (3) với 100 rồi cộng lại ta được:

$1216a+208b+4c+2d=-4992$

Mà $p(12)+p(-8)=1216a+208b+4c+2d+24832$

=>$n=\frac{p(12)+p(-8)}{10}=1984$

Khi đó phương trình thành $x^{2}+3=2x-2cos(15x+1984)\pi$

<=>$x^{2}-2x+3=-2cos(15x+1984)\pi$

<=>$x^{2}-2x+3=-2cos15x\pi$ (*)

Nhận thấy vế trái của (*) VT=$x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2\geq 2$

Lại có $cos15x\pi\geq -1$

=>$VP\leq 2$

=>$VT\geq VP$

Dấu "=" xảy ra <=> x=1

Vậy phương trình có nghiệm x=1

#9 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 21-08-2012 - 10:30

Em là MO37 xin được nộp đề:
Đề bài:
Với n là số nguyên dương cho trước.Tìm tất cả các nghiệm thực của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=9& & & \\ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}}=1& & & \\ x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n}>0& & & \end{matrix}\right.$
Đáp án:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$(x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n})(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}})\geqslant n^{2}$
Vậy $\Rightarrow n^{2}\leqslant 9\Rightarrow 0<n \leqslant 3$
Ta xét các trường hợp:
TH1:n=3
Hệ đã cho trở thành:$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=9\\ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=1\\ x_{1};x_{2};x_{3}\geqslant 0 \end{matrix}\right.$
Vì n=3 nên $\frac{\sqrt{x_{1}}}{\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}}=\frac{\sqrt{x_{2}}}{\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}}=\frac{\sqrt{x_{3}}}{\frac{1}{\sqrt{x_{3}}}}$
Vậy $\Rightarrow x_{1}=x_{2}=x_{3}=3$
TH2:n=2
Hệ đã cho trở thành:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=9\\ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=1\\ x_{1};x_{2}>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=9& \\ x_{1}x_{2}=1 & \\ x_{1};x_{2}>0& \end{matrix}\right.$
Theo hệ thức Vi-ét,ta có $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình:
$t^{2}-9t+9=0$
Giải phương trình trên ta thu được:
$(x_{1};x_{2})=(\frac{9-\sqrt{45}}{2};\frac{9+\sqrt{45}}{2})$
và $(x_{1};x_{2})=(\frac{9+\sqrt{45}}{2};\frac{9-\sqrt{45}}{2})$
TH3:n=1
Hệ đã cho vô nghiệm.
Kết luận: Hệ phương trình có các nghiệm:$(x_{1};x_{2})=(\frac{9+\sqrt{45}}{2};\frac{9-\sqrt{45}}{2});(\frac{9+\sqrt{45}}{2};\frac{9-\sqrt{45}}{2})$(nếu n=2)
Và $(x_{1};x_{2};x_{3})=(3;3;3)$(nếu n=3)

P\s:Nếu sai gõ LaTex mong BQT sửa giúp em

Hình đã gửi


#10 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 21-08-2012 - 14:29

Họ và tên : Hoàng Trung Hiếu
Nick diễn đàn: hoangtrunghieu22101997
Toán thủ xin được gửi đề vòng 1
Đề bài: Giải phương trình
$$7x^2-13x+8=2x^2.\sqrt[3]{x(1+3x-3x^2)}$$
Đáp án của toán thủ
Xét x=0
Thấy x=0 không là nghiệm của phương trình
Xét $x \ne 0$
Chia cả 2 vế phương trình đầu cho $x^3$.
Tức là : $\frac{7}{x}-\frac{13}{x^2}+\frac{8}{x^2}=2.\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x}-3}$(1)
Đặt $\frac{1}{x}=y$
(1) trở thành
$8y^3-13y^2+7y=2\sqrt[3]{y^2+3y-3}$
Đặt $\sqrt[3]{y^2+3y-3}=u;2y-1=v$
Ta có:
$v^3-y^2+y+1=2u$
$u^3-y^2+y+1=2v$
Trừ vế ta được:
$v^3-u^3=2(u-v)$
$\Leftrightarrow (v-u)(v^2+uv+u^2+2)=0$
$\Leftrightarrow v=u$(vì $v^2+uv+u^2+2>0$)
Cho nên
$\sqrt[3]{y^2+3y-3}=2y-1$
$\Leftrightarrow (y-1)(8y^2-5y-2)=0$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
$S={1;\frac{5-\sqrt{89}}{16};\frac{5+\sqrt{89}}{16}}$

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#11 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 21-08-2012 - 20:33

Đề

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn (11).gif


#12 Nguyen Anh Nguyen K14

Nguyen Anh Nguyen K14

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-08-2012 - 23:02

Đề:
Giải phương trình:
24$x^{3}$+50$x^{2}$+(107-30$\sqrt{x+7}$)x+31-10$\sqrt{x+7}$=0 (1)
Giải:
(1) $\Leftrightarrow$ (24$x^{3}$+8$x^{2}$) + (42$x^{2}$+14x) + (93x+31) - (30x$\sqrt{x+7}$+10$\sqrt{x+7}$)=0
$\Leftrightarrow$ 8$x^{2}$(3x+1)+14x(3x+1)+31(3x+1)-10$\sqrt{x+7}$(3x+1)=0
$\Leftrightarrow$ (3x+1)(8$x^{2}$+14x+31-10$\sqrt{x+7}$)=0
$\Rightarrow$ 3x+1=0 $\Leftrightarrow$ x=$-\frac{1}{3}$
hoặc 8$x^{2}$+14x+31-10$\sqrt{x+7}$=0
$\Rightarrow$ 16$x^{2}$+28x+62-20$\sqrt{x+7}$=0
$\Leftrightarrow$ (16$x^{2}$+24x +9) + (4x+28-20$\sqrt{x+7}$+25)=0
$\Leftrightarrow$ $^(4x+3){2}$ + (2$\sqrt{x+7}$-5)$^{2}$=0
$\Rightarrow$ $^(4x+3){2}$=0 $\Rightarrow$ x=$-\frac{3}{4}$
và (2$\sqrt{x+7}$-5)$^{2}$=0 $\Rightarrow$ x=$-\frac{3}{4}$
vậy phương trình có hai nghiệm x=$-\frac{1}{3}$ và x=$-\frac{3}{4}$

#13 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 22-08-2012 - 11:05

Giải hệ: x^3+Y=2 (1)
y^3+x=2 (2)
Mới đầu tưởng dễ nhưng thực ra k phải vậy:
Trừ (1) cho (2) ta được (x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0
TH1:x=y ta dễ tính đc x=y=1
Th2:x^2+xy+y^2=1 (3)
Giả sữ x lớn hơn hoặc bằng y
Xét y dương:
Do x lớn hơn hoặc bằng y nên x dương
Từ (1) ta suy ra x lớn hơn hoặc bằng 1
từ (3) ta suy ra xy+y^2< hoặc bẳng 0. Do đó y=0, thay vào (1) ta đc điều vô lí
Xét y âm:
Từ (2) suy ra x> hoặc bằng 2. Từ (3) ta có:
3X^2/4+(x/2+y)^2=1
do x> hoặc bẳng 2 nên dễ thấy vô lí
Xét y=0: Từ (2)=> x=0. Từ (1)=> vô lí
Vậy (x,y)=(1,1) duy nhất

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#14 minhdat881439

minhdat881439

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-08-2012 - 19:32

Đề:

Cho phương trình:
$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2m\sqrt{x(1-x)}-2\sqrt[4]{x(1-x)}=m^{3}$ (*)
Tìm m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Bài giải:

Điều kiện: $0\leq x\leq 1$

Nhận xét: Nếu $x_{0}$ là nghiệm của phương trình thì $1-x_{0}$ cũng là nghiệm của phương trình
$\Rightarrow$ Phương trình có nghiệm duy nhất khi:
$x_{0}=1-x_{0}\Leftrightarrow x_{0}=\frac{1}{2}$
Thay $x_{0}=\frac{1}{2}$ vào phương trình (*) ta được:

$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{1-\frac{1}{2}}+2m\sqrt{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}-2\sqrt[4]{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}=m^{3}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{\frac{1}{2}}+m-2\sqrt{\frac{1}{2}}=m^{3}$

$\Leftrightarrow m^{3}-m=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=0 & \\ m=1 & \\ m=-1 & \end{bmatrix}$

$\bullet$ Với m=0 (*) trở thành:
$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}-2\sqrt[4]{x(1-x)}=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x})^{2}=0 \Leftrightarrow \sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{1-x} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1-x & \\ x\geq 0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$
Vậy m=0 thỏa mãn.
$\bullet$ Với m=-1 (*) trở thành:
$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}-2\sqrt{x(1-x)}-2\sqrt[4]{x(1-x)}=-1$
$\Leftrightarrow (\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x})^{2}+1-2\sqrt{x(1-x)}=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x})^{2}+1-x-2\sqrt{x(1-x)}+x=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x})^{2}+(\sqrt{x}-\sqrt{1-x})^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x}=0 & \\ \sqrt{x}-\sqrt{1-x}=0 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & \\ x=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$
Vậy m=-1 thỏa mãn.
$\bullet$ Với m=1 (*) trở thành:
$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2\sqrt{x(1-x)}-2\sqrt[4]{x(1-x)}=1$
$\Leftrightarrow (\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x})^{2}=1-2\sqrt{x(1-x)}$
$\Leftrightarrow (\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x})^{2}=(\sqrt{x}-\sqrt{1-x})^{2}$
$\Leftrightarrow\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{1-x})^{2}}{(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x})^{2}}=(\sqrt{x}-\sqrt{1-x})^{2}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} (\sqrt{x}-\sqrt{1-x})^{2}=0 & \\ 1-\frac{1}{(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x})^{2}}=0 & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1-x & \\ (\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x})^{2}=1 & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{1}{2} & \\ \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}=1 (1)& \end{bmatrix}$ (trương hợp $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}=-1$ loại)
(1) Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{x}=a & \\ \sqrt[4]{1-x}=b & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1 & \\ a^{4}+b^{4}=1 & \end{matrix}\right.$
mà a+b=1
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}=1-2ab$
$\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+2a^{2}b^{2}=1-4ab+4a^{2}b^{2}$
$\Leftrightarrow 1+2a^{2}b^{2} =1-4ab+4a^{2}b^{2}$
$\Leftrightarrow 2a^{2}b^{2}-4ab=0$
$\Leftrightarrow 2ab(ab-2)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0\Rightarrow b=1 & \\ b=0\Rightarrow a=1 & \\ ab=2 (mà a+b=1 nên trường hợp này vô nghiệm)& \end{bmatrix}$
+a=0,b=1$\Rightarrow x=0$
+a=1,b=0$\Rightarrow x=1$
Vậy x=1 không thỏa
KL: Với m=0 hoặc m=-1 thì phương trình có nghiệm duy nhất

Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng


Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF


#15 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 22-08-2012 - 22:10

Lời giải
Bài 1
Bài toán phụ: Với x,y,n>0 Chứng minh Hình đã gửi
Ta dễ dàng chứng minh được bằng cách quy nạp.

Trở về bài toán áp dụng bất đẳng thức trên ta có Hình đã gửi

Suy ra Hình đã gửi Hình đã gửi

Tương tự cũng có Hình đã gửi

Hình đã gửi

Hình đã gửi

Ta dễ thấy VP có dạng bất đẳng thức nesbit nên suy ra VP>=3
Suy ra VT>=3
Chia cả hai vế cho 2^k ta được
Hình đã gửi

Do đó không thể tìm các số a,b,c thòa đề bài
Vậy Bất phương trình vô nghiệm

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn (12).gif
  • CodeCogsEqn (13).gif
  • CodeCogsEqn (14).gif
  • CodeCogsEqn (17).gif
  • CodeCogsEqn (18).gif
  • CodeCogsEqn (19).gif
  • CodeCogsEqn (21).gif
  • CodeCogsEqn (24).gif


#16 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 22-08-2012 - 22:55

Bài 2:
ĐK Hình đã gửi
Ta có
CodeCogsEqn (32).gif
Vì vậy
CodeCogsEqn (33).gif (1)

Suy ra CodeCogsEqn (34).gif

Với Hình đã gửi ta có CodeCogsEqn (35).gif

Theo bất đẳng thức B.C.S ta có
CodeCogsEqn (36).gif

Từ (1) và (2)

CodeCogsEqn (37).gif
Dấu bằng của đẳng thức xay ra khi và chỉ khi x=0
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất x=0

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn (27).gif


#17 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 22-08-2012 - 23:05

Bài 3
Nếu x>=y ta có CodeCogsEqn (38).gif
Do đó CodeCogsEqn (39).gif
Nếu x<=y ta có

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn (40).gif


#18 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 22-08-2012 - 23:24

Nếu x>=y ta có CodeCogsEqn (38).gif
Do đó CodeCogsEqn (39).gif CodeCogsEqn (42).gif

Nếu x<=y ta có CodeCogsEqn (40).gif
Do đó attachment=11296:CodeCogsEqn (41).gif] CodeCogsEqn (42).gif
Dấu'=' xảy ra <=>x=y
Từ đó có
CodeCogsEqn (43).gif
Tương tự cũng có CodeCogsEqn (44).gif

CodeCogsEqn (45).gif

Ta có
CodeCogsEqn (46).gif

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x=y=z=1 hoặc x=y=z=-1

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn (41).gif


#19 nhathuyenqt

nhathuyenqt

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:hải lăng, quảng trị

Đã gửi 23-08-2012 - 16:28

Đề : Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28 & \\ 24b^{2}+73b = 25ab+25a-133 & \end{matrix}\right.$$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28 & \\ 24b^{2}+73b = 25ab+25a-133 (1) & \end{matrix}\right.$$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28 & \\ 24b^{2}+73b = 25ab+25a-133 (2) & \end{matrix}\right.$

--------------------------------------------------------------------------


Bài giải:

Hệ đã cho tương đương với
$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}-71a+27b+161=25ab+28 & \\ 24b^{2}+73b-25a=25ab+28 \end{matrix}\right.$
Tôi chợt nghĩ ra! Vì sao tôi sống? Vì đất nước này cần ... một trái tim!!

#20 nhathuyenqt

nhathuyenqt

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:hải lăng, quảng trị

Đã gửi 23-08-2012 - 18:19

ĐỀ: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28,,,, (1)& \\24b^{2}+73b=25ab+25a-133,,,(2) \left \right \end{matrix}\right.$

-------------------------------------

Bài giải

Hệ đã cho tương đương với
$$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}-71a+27b=25ab+28,,,, (3)& \\24b^{2}+73b-25a+161=25ab+28,,,(4) \left \right \end{matrix}\right.$$
Trừ (3) cho (4) vế theo vế, ta có
$23a^{2}-23b^{2}-46a-46b-161=0$$
\Leftrightarrow $a^{2}-b^{2}-2a-2b-7=0$$
$\Leftrightarrow $(a -1)^{2}-(b+1)^{2}-7=0$$ (5)

Từ (2) ta có

$24b^{2}+73b-25ab-25a+133=0$
$\Leftrightarrow (24b^{2}+48b+24)-(25ab+25a-25b-25)+84=0$
$\Leftrightarrow 24(b+1)^{2}-25(b+1)(a-1)+84=0 $ (6)

Từ (5) và (6) ta có hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} (a -1)^{2}-(b+1)^{2}-7=0 & \\ 24(b+1)^{2}-25(b+1)(a-1)+84=0 & \end{matrix}\right.$

Đặt

$\left\{\begin{matrix} x=a-1 & \\ y=b+1 & \end{matrix}\right.$

Ta có
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}-7=0 & \\ 24y^{2}-25xy+84=0 ,,,,(*) & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} y^{2}x^{2}-y^{4}-7y^2=0& \\ (24y^{2}+84)^{2}=(25xy)^{2} & \end{matrix}\right.$$

$\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} 625x^{2}y^{2}-625y^{4}-4375y^2=0 & \\ 576y^{4}+7056+4032y^{2}=625x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.$$
$\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} 625y^{4}+4375y^2=625x^{2}y^{2} ,,,,,(7) & \\ 576y^{4}+7056+4032y^{2}=625x^{2}y^{2},,,,, (8) & \end{matrix}\right.$$

Trừ (7) cho (8), ta có
$49y^{4}+343y^{2}-7056=0$
Giải phương trình ta được
$y^{2}=9$ và $y^{2}=-16$ (loại)
$\Rightarrow y=\pm 3$
Xét y=-3 thay vào (*) ta được $216+75x+84=0\Rightarrow x=-4$
..... $\left\{\begin{matrix} x=-4 & \\ y=-3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-3 & \\ b=-4 & \end{matrix}\right.$
Xét y=3 thay vào (*) ta được $216-75x+84=0\Rightarrow x=4$
..... $\left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & \\ b=2 & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ có 2 nghiệm (5;2) và (-3;-4)
Tôi chợt nghĩ ra! Vì sao tôi sống? Vì đất nước này cần ... một trái tim!!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh