Chủ đề này có 18 trả lời

[nangcongchua]

Chứng minh rằng: $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$ với mọi $a$, $b$, $c$ (làm theo ba cách).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcongchua: 17-08-2012 - 10:26

[BlackSelena]

Cách 1
Bạn nhóm $[(a+b)+c]^3$ lại rồi dùng hẳng đẳng thức phân tích như bình thường thôi
P/s: lát nữa mình edit bài viết ghi chi tiết sau

[C a c t u s]

1. Chứng minh: (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)
với mọi a, b, c
(làm theo 3 cách)

$(a+b+c)^3=((a+b)+c)^3=(a+b)^3+c^3+3(a+b)c(a+b+c)$
$=a^3+b^3+3ab(a+b)+c^3+3(a+b)c(a+b+c)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+c(a+b+c))$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+ac+bc+c^2)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)$
P.s: Chậm òi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 17-08-2012 - 10:18

[L Lawliet]

Hình như VP thiếu $c^{3}$ thì phải???

Thiếu ở chỗ nào bạn?

[Kir]

Hình như VP thiếu $c^{3}$ thì phải???

Không, vẫn đủ cả mà

[minhdat881439]

Bài này đã có trong topic này rồi mà http://diendantoanho...nhớ-va-cần-nhớ/

[nangcongchua]

nhưng đây là chứng minh bạn ạ.
theo 3 cách nà.không thiếu chỗ nào hết á.

[caovannct]

bạn có thể quy về cm đẳng thức $(\sum a)^3-a^3=b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow (b+c)((\sum a)^2+a(\sum a)+a^2)=(b+c)(b^2-bc+c^2+3(a+b)(b+c))$.
Tiếp tục sử dụng các đẳng thức đã biết ta cũng có đpcm.

[nangcongchua]

bạn có thể quy về cm đẳng thức $(\sum a)^3-a^3=b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow (b+c)((\sum a)^2+a(\sum a)+a^2)=(b+c)(b^2-bc+c^2+3(a+b)(b+c))$.
Tiếp tục sử dụng các đẳng thức đã biết ta cũng có đpcm.

nhưng mình mới lớp 7 sang năm lên lớp 8, làm sao mà sử dụng được kí hiệu như thế được.

[L Lawliet]

nhưng mình mới lớp 7 sang năm lên lớp 8, làm sao mà sử dụng được kí hiệu như thế được.

Chú ý viết hoa đầu dòng bạn nhé
----
Kí hiệu $\sum $ có nghĩa là tổng hoán vị, ghi vậy cho nhanh thôi mà.

[nangcongchua]

Mình chưa học nen chẳng biết. Các bạn có thể làm được 3 cách nhưng lớp 8 học rồi không.
Thanks.

[triethuynhmath]

Mình chưa học nen chẳng biết. Các bạn có thể làm được 3 cách nhưng lớp 8 học rồi không.
Thanks.

Nãy biến đổi từ vế trái sang vế phải thì bây giờ biến đổi từ vế phải sang vế trái
$a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+bc+ca+c^2)=a^3+b^3+3ab(a+b)+c^3+3(a+b)c(a+b+c)=(a+b)^3+c^3+3(a+b)c(a+b+c)=(a+b+c)^3(Q.E.D)$
Cách 3: Biến đổi tương đương trở về $0 = 0$ thôi,cách nào cũng vậy
P/s:Cả 3 cách đều chỉ dùng hằng đẳng thức lớp 8 thôi bạn à.Đây là cơ sở để hình thành đẳng thức :
$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$ và mình vẫn còn nhớ bài toán "rùng rợn" sau:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
$(x+y+z)^3-(x+y-z)^3-(y+z-x)^3-(z+x-y)^3$

[nangcongchua]

Nãy biến đổi từ vế trái sang vế phải thì bây giờ biến đổi từ vế phải sang vế trái
$a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+bc+ca+c^2)=a^3+b^3+3ab(a+b)+c^3+3(a+b)c(a+b+c)=(a+b)^3+c^3+3(a+b)c(a+b+c)=(a+b+c)^3(Q.E.D)$
Cách 3: Biến đổi tương đương trở về $0 = 0$ thôi,cách nào cũng vậy
P/s:Cả 3 cách đều chỉ dùng hằng đẳng thức lớp 8 thôi bạn à.Đây là cơ sở để hình thành đẳng thức :
$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$ và mình vẫn còn nhớ bài toán "rùng rợn" sau:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
$(x+y+z)^3-(x+y-z)^3-(y+z-x)^3-(z+x-y)^3$

bạn có thể làm ra hai cách còn lại cụ thể không. Mình không thạo phân tích mấy cái này lắm.

[BoFaKe]

bạn có thể làm ra hai cách còn lại cụ thể không. Mình không thạo phân tích mấy cái này lắm.

3 cách có cả rồi đấy bạn .

Nãy biến đổi từ vế trái sang vế phải thì bây giờ biến đổi từ vế phải sang vế trái
$a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+bc+ca+c^2)=a^3+b^3+3ab(a+b)+c^3+3(a+b)c(a+b+c)=(a+b)^3+c^3+3(a+b)c(a+b+c)=(a+b+c)^3(Q.E.D)$
Cách 3: Biến đổi tương đương trở về $0 = 0$ thôi,cách nào cũng vậy
P/s:Cả 3 cách đều chỉ dùng hằng đẳng thức lớp 8 thôi bạn à.Đây là cơ sở để hình thành đẳng thức :
$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$ và mình vẫn còn nhớ bài toán "rùng rợn" sau:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
$(x+y+z)^3-(x+y-z)^3-(y+z-x)^3-(z+x-y)^3$

bạn có thể quy về cm đẳng thức $(\sum a)^3-a^3=b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow (b+c)((\sum a)^2+a(\sum a)+a^2)=(b+c)(b^2-bc+c^2+3(a+b)(b+c))$.
Tiếp tục sử dụng các đẳng thức đã biết ta cũng có đpcm.

$(a+b+c)^3=((a+b)+c)^3=(a+b)^3+c^3+3(a+b)c(a+b+c)$
$=a^3+b^3+3ab(a+b)+c^3+3(a+b)c(a+b+c)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+c(a+b+c))$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+ac+bc+c^2)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)$
P.s: Chậm òi

Còn vấn đề về $\sum$ là gì thì nó chỉ đơn giản là thế này thôi,thấy 1 vài ví dụ là hiểu thôi mà bạn:
Đối với 3 ẩn $a,b,c$ thì $\sum a^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}$ và $\sum ab= ab+bc+ca$
còn $\sum a^{3}= a^{3}+b^{3}+c^{3}$.Đơn giản mà dễ hiểu mà bạn,cái nào không biết bạn phải tìm hiểu và đối với kiến thức mới phải luôn hứng thú chứ

[nangcongchua]

Bạn nào giải cụ thể cho mình bài toán theo 3 cách cái nha.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcongchua: 17-08-2012 - 16:07

[nangcongchua]

3 cách có cả rồi đấy bạn .




Còn vấn đề về $\sum$ là gì thì nó chỉ đơn giản là thế này thôi,thấy 1 vài ví dụ là hiểu thôi mà bạn:
Đối với 3 ẩn $a,b,c$ thì $\sum a^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}$ và $\sum ab= ab+bc+ca$
còn $\sum a^{3}= a^{3}+b^{3}+c^{3}$.Đơn giản mà dễ hiểu mà bạn,cái nào không biết bạn phải tìm hiểu và đối với kiến thức mới phải luôn hứng thú chứ

Mình chưa học cái $\sum$ mình mà làm ai hiểu được chứ. Các bạn của mình có lẽ chẳng ai hiểu đâu. Bạn giải thích thế mình cũng chẳng hiểu gì hết. Bạn làm cho mình bài này 3 cách theo lớp 8 nha.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcongchua: 17-08-2012 - 16:07

[BoFaKe]

bạn nào giải cụ thể cho mình bài toán theo 3 cách cái nha.

Đến chịu bạn luôn đấy:
Cách 1:$(a+b+c)^{3}=((a+b)+c)^{3}
=(a+b)^{3}+c^{3}+3(a+b)^{2}c+3(a+b)c^{2}
=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+c^{3}+3(a+b)c(a+b+c)
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(c(a+b+c)+ab)
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)$(Cái trong ngoặc bạn tự phân tích đa thức thành nhân tử 1 cách dễ dàng.
Cách2:Xét hiệu :$(a+b+c)^{3}-a^{3}=(a+b+c-a)((a+b+c)^{2}-a(a+b+c)+a^{2})$
VÌ $(a+b+c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ nên từ đó ta có:
$(a+b+c)^{3}-a^{3}= (b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca+a^{2}-a^{2}-ab-ac)
=(b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+2bc)
=b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)$(Từ dòng trên xuống bạn chỉ phân tích đa thức thành nhân tử 1 cách dễ dàng hoặc bạn nhìn kết quả của mình rồi phân tích ngược lại là hiểu)
Cách 3:Bạn làm ngược từ dưới lên của cách 1.

Mình chưa học cái $\sum$ mình mà làm ai hiểu được chứ. Các bạn của mình có lẽ chẳng ai hiểu đâu. Bạn giải thích thế mình cũng chẳng hiểu gì hết. Bạn làm cho mình bài này 3 cách theo lớp 8 nha.

Ý mình là bạn dựa vào các ví dụ của mình và biến từ cái của mình thành của bạn:
Chẳng hạn $\sum a^{3}$ thì bạn hiểu đó là $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ và viết vào trong vở của mình là $a^{3}+b^{3}+c^{3}$,bạn hiểu chứ

[ckuoj1]

Mình chưa học cái $\sum$ mình mà làm ai hiểu được chứ. Các bạn của mình có lẽ chẳng ai hiểu đâu. Bạn giải thích thế mình cũng chẳng hiểu gì hết. Bạn làm cho mình bài này 3 cách theo lớp 8 nha.

Giở Sách nâng cao và phát triển của Vũ Hữu Bình tập 1, chuyên đề PTĐT thành nhân tử để đọc kĩ e nhé. Trong phần đó họ có nói rõ về bài này.
-----------
p/s: Tất cả những người trả lời topic trên của em đều lớn hơn tuổi hơn, vậy nên sqau khi đọc câu này của chị mong em xưng hô lễ phép hơn.

[baby2003]

$(a+b+c)^3=((a+b)+c)^3=(a+b)^3+c^3+3(a+b)c(a+b+c)$
$=a^3+b^3+3ab(a+b)+c^3+3(a+b)c(a+b+c)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+c(a+b+c))$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+ac+bc+c^2)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)(c+a)

 

mk k hiểu chỗ (a+b)^3+c^3+3(a+b)c(a+b+c)