Ngày 1, 14 tháng 3 năm 2005
Bài 1:
Xác định tất cả các bộ số nguyên dương $\(x,y,z\)$sao cho số
$\sqrt{\dfrac{2005}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{2005}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{2005}{z+x}}$
là một số nguyên.
Bài 2:
Xét hai đường tròn $k_1,k_2$tiếp xúc ngoài nhau tại $T$. Một đường thẳng tiếp xúc $k_2$tại $X$và cắt $k_1$tại các điểm $A$và $B$. Gọi $S$là giao điểm thứ hai của $k_1$với $XT$. Trên cung $\widehat{TS}$không chứa $A$và $B$chọn một điểm $C$. Gọi $CY$là tiếp tuyến từ $C$đến $k_2$với $Y$thuộc $k_2$, sao cho đoạn $CY$không cắt đoạn $ST$. Gọi $I$là giao điểm của $XY$và $SC$. Chứng minh rằng:
(a) các điểm $C,T,Y,I$cùng thuộc một đường tròn.
(b) $I$là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$của tam giác $ABC$.
Bài 3:
$A$của $M$thỏa mãn với mọi số thuộc $M$đều biểu diễn duy nhất dưới tổng của một số hữu hạn các số phân biệt thuộc $A$
Ngày 2, 15 tháng 3 năm 2005
Bài 4:
Tam giác $ABC$không cân tại $A$, gọi $A'B'C$là tam giác thu được sau một phép quay tâm $C$. Gọi $M,E,F$là trung điểm của các đoạn $BA',AC,CB'$, theo thứ tự. Nếu $EM=FM$, tính góc $\hat{EMF}$
Bài 5:
Với các số nguyên dương $t,a,b$, một trò chơi $\(t,a,b\)$là một trò chơi gồm hai người như sau: ban đầu, số $t$được viết trên một cái bảng. Trong lượt chơi đầu tiên, người chơi thứ nhất thay $t$bằng $t-a$hoặc $t-b$. Sau đó, người chới thứ hai trừ hoặc $a$hoặc $b$từ số đó, và viết kết quả lên bảng, xóa số cũ. Sau đó, người chơi thứ nhất lại trừ hoặc $a$hoặc $b$từ số viết trên bảng, và cứ tiếp tục như vậy. Người chơi nào mà viết một số âm lên bảng trước là người thua cuộc. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn giá trị của $t$sao cho người chơi đầu có chiến thuật chiến thắng với mọi cặp $\(a,b\)$mà $a+b=2005$.
Bài 6:
$a,b,c$là các số nguyên dương thỏa mãn $ab$chia hết $c\(c^2-c+1\)$và $a+b$chia hết cho $c^2+1$. Chứng minh rằng các tập $\{a,b\}$và $\{c,c^2-c+1\}$trùng nhau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 11:01
