Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bulgaria National Olympiad 2005


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 01-11-2005 - 16:28

b]Bulgaria National Olympiad 2005 [/b

Ngày 1, 14 tháng 3 năm 2005

Bài 1:
Xác định tất cả các bộ số nguyên dương $\(x,y,z\)$sao cho số
$\sqrt{\dfrac{2005}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{2005}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{2005}{z+x}}$
là một số nguyên.

Bài 2:
Xét hai đường tròn $k_1,k_2$tiếp xúc ngoài nhau tại $T$. Một đường thẳng tiếp xúc $k_2$tại $X$và cắt $k_1$tại các điểm $A$và $B$. Gọi $S$là giao điểm thứ hai của $k_1$với $XT$. Trên cung $\widehat{TS}$không chứa $A$và $B$chọn một điểm $C$. Gọi $CY$là tiếp tuyến từ $C$đến $k_2$với $Y$thuộc $k_2$, sao cho đoạn $CY$không cắt đoạn $ST$. Gọi $I$là giao điểm của $XY$và $SC$. Chứng minh rằng:
(a) các điểm $C,T,Y,I$cùng thuộc một đường tròn.
(b) $I$là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$của tam giác $ABC$.

Bài 3:
$A$của $M$thỏa mãn với mọi số thuộc $M$đều biểu diễn duy nhất dưới tổng của một số hữu hạn các số phân biệt thuộc $A$

Ngày 2, 15 tháng 3 năm 2005

Bài 4:
Tam giác $ABC$không cân tại $A$, gọi $A'B'C$là tam giác thu được sau một phép quay tâm $C$. Gọi $M,E,F$là trung điểm của các đoạn $BA',AC,CB'$, theo thứ tự. Nếu $EM=FM$, tính góc $\hat{EMF}$

Bài 5:
Với các số nguyên dương $t,a,b$, một trò chơi $\(t,a,b\)$là một trò chơi gồm hai người như sau: ban đầu, số $t$được viết trên một cái bảng. Trong lượt chơi đầu tiên, người chơi thứ nhất thay $t$bằng $t-a$hoặc $t-b$. Sau đó, người chới thứ hai trừ hoặc $a$hoặc $b$từ số đó, và viết kết quả lên bảng, xóa số cũ. Sau đó, người chơi thứ nhất lại trừ hoặc $a$hoặc $b$từ số viết trên bảng, và cứ tiếp tục như vậy. Người chơi nào mà viết một số âm lên bảng trước là người thua cuộc. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn giá trị của $t$sao cho người chơi đầu có chiến thuật chiến thắng với mọi cặp $\(a,b\)$mà $a+b=2005$.

Bài 6:
$a,b,c$là các số nguyên dương thỏa mãn $ab$chia hết $c\(c^2-c+1\)$và $a+b$chia hết cho $c^2+1$. Chứng minh rằng các tập $\{a,b\}$và $\{c,c^2-c+1\}$trùng nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 11:01

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#2 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 01-11-2005 - 16:31

Mời các bạn tham gia thảo luận về các bài toán này tại đây:

BAI 1
BAI 2
BAI 3
BAI 4
BAI 5
BAI 6
The only way to learn mathematics is to do mathematics




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh