185 replies to this topic

[henry0905]

Bài 9: Chứng minh rằng: $3^{2n+1}+2^{n+2} \vdots 7$ với mọi $n=0;1;2;...$

Cách 1: Qui nạp (nhưng không hay)
Cách 2:
$3^{2n+1}=3.9^{n}=3.(7+2)^{n}=3.(7a+2^{n})=21a+3.2^{n}$
$2^{n+2}=4.2^{n}$
Cộng lại ta được: $7.2^{n}+21a\vdots 7\Rightarrow Q.E.D$

[duongchelsea]

Bài 10: Cho hai lũy thừa: $2^n$ và $5^n$ với $n\in N^*$.
a) Hãy tìm $n$ nhỏ nhất để $2^n$ và $5^n$ có cùng chữ số đầu tiên.
b) Chứng minh rằng nếu với $n$ nào đó mà $2^n$ và $5^n$ có chữ số đầu tiên thì chữ số đầu tiên ấy là duy nhất.

Với $n=5$ thì $2^n=32, 5^n=3125$ suy ra $2^n, 5^n$ có cùng chữ số đầu.
Giả sử $2^n, 5^n$ có cùng chữ số đầu là $a (1\leq a\leq 9)$. Giả sử $2^n$ có k chữ số, $5^n$ có m chữ số.
Ta có:
$$a.10^{k-1}< 2^n< (a+1).10^{k-1}$$ và $$a.10^{m-1}< 5^n< (a+1).10^{m-1}$$
$$\Rightarrow a^2< 10^{n-k-m+2}< (a+1)^2\Rightarrow 1\leq n-k-m+2< 2 (1\leq a\leq 9)\Rightarrow n-k-m+2=1\Rightarrow a^2< 10< (a+1)^2\Rightarrow a=3$$

P/s: Đây là bài 3 đề thi vào 10 chuyên toán CVA và HN-Amsterdam năm 1993.
----
$L$: Trích dẫn bài cho tiện theo dõi nhé bạn

Edited by L Lawliet, 17-08-2012 - 22:14.

[nth1235]

Từ đầu bài suy ra: $A=(2005^n-1897^n)-(168^n-60^n)$
Ta có:
$2005^n-1897^n \vdots 2005-1897=108 \vdots 12$
$168^n-60^n \vdots 168-60=108 \vdots 12$
$\Rightarrow A \vdots 12$ (1)
Từ đầu bài ta cũng có: $A=(2005^n-168^n)-(1879^n-60^n)$
Ta có:
$2005^n-168^n \vdots 2005-168=1837 \vdots 167$
$1897^n-60^n \vdots 1897-60=1837 \vdots 167$
$\Rightarrow A \vdots 167$ (2)
Mà $2004=12.167$ (3)
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow A \vdots 2004$
----

Spoiler

Đạt giới hạn không like được

Bài này bạn nên chú ý chỗ (3). Chỗ đó chỉ đúng khi (12,167) = 1. Bạn nên lý luận thêm.
Một vd để bạn thấy nó sẽ ra sao nếu ko có điều kiện đó :
4 chia hết cho 2 và 4 chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 2.4 = 8.

[nth1235]

Post mấy bài góp vui :
$11)$ Cho $a, b, c, d$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a , b) = (c , d) = 1.$
Chứng minh nếu $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ là số nguyên thì $b = d$.
$12)$ Tìm số có hai chữ số $\bar{ab}$ sao cho $ p = \frac{a.b}{\left| a - b \right|}$ là số nguyên tố.

Edited by nth1235, 18-08-2012 - 07:57.

[L Lawliet]

$12)$ Tìm số có hai chữ số $\bar{ab}$ sao cho $ p = \frac{a.b}{\left| a - b \right|}$ là số nguyên tố.

Lời giải:
Giả sử $a\geq b$. Từ giả thuyết suy ra:
$$p=\dfrac{ab}{\left | a-b \right |}\\
\Leftrightarrow p=\dfrac{ab}{a-b}\\
\Leftrightarrow \left ( a-b \right )p=ab\\
\Leftrightarrow ap-bp-ab+p^2=p^2\\
\Leftrightarrow \left ( a+p \right )\left ( p-b \right )=p^2$$
Vì $a$, $b$ không đồng thời bằng $0$ nên $a+p=p^2$ và $p-b=1$. Vì $1\leq a\leq 9$ nên $p\leq 3$. Từ đây dễ dàng tìm được $\overline{ab}$.
Đáp số: $\boxed{\overline{ab}\in \left \{ 26, 62, 12, 21 \right \}}$ $\blacksquare$
----

Spoiler

Đề thi học sinh giỏi Toán toàn quốc - lớp $9$ năm $1995$

[nguyenta98]

Post mấy bài góp vui :
$11)$ Cho $a, b, c, d$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a , b) = (c , d) = 1.$
Chứng minh nếu $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ là số nguyên thì $b = d$.

Giải như sau:
$\dfrac{ad+bc}{bd}$ là số nguyên
Suy ra $ad+bc \vdots bd \Rightarrow ad \vdots b \Rightarrow d \vdots b$ (do $gcd(a,b)=1$)
Cm tương tự $b \vdots d$ suy ra $b=d$ nên ta có $đpcm$

[L Lawliet]

Bài 12: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $\left ( p,q \right )$ sao cho $p^2-2q^2=1$.
----

Spoiler

Bài này dành riêng cho chủ thớt :-" lập thớt ra mà chưa vô chém với mọi người

Edited by L Lawliet, 18-08-2012 - 15:21.

[duongchelsea]

Bài 12: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $\left ( p,q \right )$ sao cho $p^2-2q^2=1$.
----

Spoiler

Bài này dành riêng cho chủ thớt :-" lập thớt ra mà chưa vô chém với mọi người

Với $p=3$ thì $q=2$.
Với $q=3$ thì $p^2=19$ vậy không tồn tại p.
Với p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì
$p^2\equiv 1(mod 3); 2q^2\equiv 2(mod 3)\Rightarrow p^2-2q^2\equiv 2(mod 3)$
mà $p^2-2q^2=1$
Suy ra vô lí.
Vậy cặp số nguyên tố thỏa mãn là $(3;2)$

Edited by duongchelsea, 18-08-2012 - 16:37.

[L Lawliet]

Bài 13: Tìm các số tự nhiên $n$ $\left ( n\geq 1 \right )$ sao cho $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số.

Spoiler

Bài này dành cho em BlackSelena nhé

Bài 14: Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng: $2^{1994^{n}}+17$ trong đó $n$ là một số tự nhiên.

Spoiler

Bài này chém thoải mái

----

Spoiler

Xóa mấy cmt ở trên nhen nhìn không hay cho lắm ^^

______
___
Bài 13 đã được đóng dấu bởi BlackSelena.

Edited by BlackSelena, 18-08-2012 - 17:05.

[duongchelsea]

Bài 15: Tìm $x,y,z$ là các số nguyên tố sao cho $x^y+1=z$.

Edited by duongchelsea, 18-08-2012 - 16:53.

[nguyenta98]

Bài 13: Tìm các số tự nhiên $n$ $\left ( n\geq 1 \right )$ sao cho $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số.

Spoiler

Bài này dành cho em BlackSelena nhé

Bài 14: Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng: $2^{1994^{n}}+17$ trong đó $n$ là một số tự nhiên.

Spoiler

Bài này chém thoải mái

----

Spoiler

Xóa mấy cmt ở trên nhen nhìn không hay cho lắm ^^

Gợi ý nhé
Bài 13: Xét modulo $7$ và nhận thấy $2^6 \equiv 1 \pmod{7}$
Bài 14: Xét modulo $3$ cực đơn giản
Bài 12: Xét modulo $4$

[L Lawliet]

Bài 15: Tìm $x,y,z\in P$ sao cho $x^y+1=z$.

Cho mình hỏi câu này, tập hợp $P$ là tập hợp gì mà nghe lạ quá @@
@nguyenta98:

Spoiler

Hàng đã có chủ, vui lòng đừng xé tem dưới mọi hình thức.

Edited by L Lawliet, 18-08-2012 - 16:52.

[nguyenta98]

Bài 15: Tìm $x,y,z\in P$ sao cho $x^y+1=z$.

Giải như sau:
TH1: $x=2 \Rightarrow 2^y+1=z$
Nếu $y$ chẵn thì $y=2$ suy ra $z=5$
Nếu $y$ lẻ thì $2^y+1=(2+1)(2^{y-1}-2^{y-2}+...+2^2-2+1)=z$ suy ra $z$ là hợp số loại
TH2: $x\geq 3$ suy ra $3^y+1=z$ mà $y$ là số nguyên tố nên $y\geq 2$ nên $3^y+1$ chẵn và $>2$
Nên loại
Vậy $x=y=2,z=5$

Edited by nguyenta98, 18-08-2012 - 17:08.

[BlackSelena]

Bài 13: Tìm các số tự nhiên $n$ $\left ( n\geq 1 \right )$ sao cho $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số.

Spoiler

Bài này dành cho em BlackSelena nhé

Bài 13 đã được đóng dấu bởi BlackSelena.

$2^{2^{2n+1}} + 3$
$=16^n.4 + 3$
Nhận thấy $16 \equiv 2 \pmod{7}$
$\Rightarrow =16^n.4 + 3 \equiv 2^n.4+3 \pmod{7}$
$2^n.4+3$
$=2^n.4 - 4 + 7$
$=4(2^n-1) +7$
Vì $2^{3k} \equiv 7 \pmod{7}$
$\Rightarrow 2^{3k} - 1 \vdots 7$
$\Rightarrow 4(2^{3k}-1) + 7 \vdots 7$
Vậy để $2^{2^{2n+1}} + 3$ là hợp số thì $n$ phải có dạng $3k$.
Last night, hú hu hù.

Edited by BlackSelena, 18-08-2012 - 18:31.

[nth1235]

Cho mình hỏi câu này, tập hợp $P$ là tập hợp gì mà nghe lạ quá @@
@nguyenta98:

Spoiler

Hàng đã có chủ, vui lòng đừng xé tem dưới mọi hình thức.

Tập hợp $P$ là tập hợp số nguyên tố.
Ps : Sao toàn người quen giải bài không vậy ??? Đề nghị "Cao thủ số học" Tạ Hà Nguyên ngừng việc post lời giải lên nữa, phải để cho mấy bạn khác làm với chứ.

Edited by nth1235, 18-08-2012 - 18:41.

[L Lawliet]

$2^{2^{2n+1}} + 3$
$=16^n.4 + 3$
Nhận thấy $16 \equiv 2 \pmod{7}$
$\Rightarrow =16^n.4 + 3 \equiv 2^n.4+3 \pmod{7}$
$2^n.4+3$
$=2^n.4 - 4 + 7$
$=4(2^n-1) +7$
Vì $2^3k \equiv 7 \pmod{7}$
$\Rightarrow 2^3k - 1 \vdots 7$
$\Rightarrow 4(2^{3k}-1) + 7 \vdots 7$
Vậy để $2^{2^{2n+1}} + 3$ là hợp số thì $n$ phải có dạng $3k$.
Last night, hú hu hù.

Xem lại đi em nhé, câu trả lời là với mọi $n\geq 1$ thì biểu thức đó là hợp số
----

Spoiler

@all: Bài này để riêng em ấy nhé

Edited by L Lawliet, 18-08-2012 - 18:41.

[C a c t u s]

Bài 16: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho tổng $2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương

Edited by C a c t u s, 18-08-2012 - 18:41.

[nguyenta98]

Bài 16: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho tổng $2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương

Giải như sau:
$$2^8+2^{11}+2^n=x^2 \Rightarrow 48^2+2^n=x^2 \rightarrow 2^n=(x-48)(x+48) \Rightarrow x-48=2^a,x+48=2^b \Rightarrow 2^b-2^a=96$$
Đến đây mọi việc đơn giản

[tranhydong]

Bài toán 17 : Tìm x nguyên dương nhỏ nhất sao cho $2000!$ chia hết cho $23^{x+6}$

Edited by BlackSelena, 18-08-2012 - 21:08.

[C a c t u s]

Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên $a;b;c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=a^2b^2$

Edited by C a c t u s, 18-08-2012 - 20:42.