Chủ đề này có 185 trả lời

[letankhang]

Cho:

$a_{n} = 2^{2n+1} + 2^{n+1}+1$

$b_{n} = 2^{2n+1} - 2^{n+1} - 1$

$n=0;1;...$

Chứng minh rằng chỉ có $1$ và chỉ $1$ trong 2 số $a;b\vdots 5$

[phatthemkem]

Cho:

$a_{n} = 2^{2n+1} + 2^{n+1}+1$

$b_{n} = 2^{2n+1} - 2^{n+1} - 1$

$n=0;1;...$

Chứng minh rằng chỉ có $1$ và chỉ $1$ trong 2 số $a;b\vdots 5$

Bạn xem bài giải tại đây http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/98502-ch%E1%BB%A9ng-minh-r%E1%BA%B1ng-ch%E1%BB%89-c%C3%B3-1-v%C3%A0-ch%E1%BB%89-1-trong-2-s%E1%BB%91-abvdots-5/#entry424295

[Khang Hy]

Bài 76: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^3+y^3+z^3=2014^2$

Xét số dư của 1 số a nào đó bất kì cho 3 thì ta có các trường hợp

$a\equiv 0(mod3); a\equiv 1(mod3);a\equiv -1(mod3)$

$\Rightarrow a^{3}\equiv 0(mod9); a^{3}\equiv 1(mod9);a^{3}\equiv -1(mod9)$

Nên từ đó ta suy ra $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv 0(mod9)$ hoặc $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv 1(mod9)$

hoặc $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv 2(mod9)$ hoặc $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv 3(mod9)$

Mà $2014\equiv 7(mod9)\Rightarrow 2014^{2}\equiv 4(mod9)$

Do đó ta thấy 2 vế mâu thuẩn nhau

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm trên tập $\mathbb{Z}$.

[letankhang]

Chứng minh chia hết:

Bài 1: ta có $n\geq 1$, chứng minh:

$a. 16^{n}-15n-1 \vdots 225$

$b.3^{3n+3}-26n-27\vdots 169$

$c.2^{2^{2n+1}}+3\vdots 7$

$d.2^{2^{6n+2}}+3\vdots 19$

Bài 2: ta có $n\geq 1$; $k$ lẻ, chứng minh:

$k^{2^{n}}-1\vdots 2^{n+2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 13-06-2013 - 16:05

[phatthemkem]

Chứng minh chia hết:

Bài 1: ta có $n\geq 1$, chứng minh:

$a. 16^{n}-15n-1 \vdots 225$

 

Với $n=1$ ta có dpcm

Giả sử $16^{n}-15n-1 \vdots 225$ với $n=k$ suy ra $16^{k}-15k-1\vdots 225$

Ta sẽ chứng minh $16^{n}-15n-1 \vdots 225$ với $n=k+1$

Ta có $16^{n}-15n-1 =16^{k+1}-15(k+1)-1=(16^k-15k-1)+15(16^k-1)$

Vì $16^k-15k-1\vdots 225$ theo giả sử và $15(16^k-1)\vdots 225$ nên $16^{k+1}-15(k+1)-1\vdots 225$

Vậy $16^{n}-15n-1\vdots 225$

Câu $b)$ làm tương tự.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 13-06-2013 - 20:19

[phatthemkem]

Chứng minh chia hết:

Bài 1: ta có $n\geq 1$, chứng minh:

$c.2^{2^{2n+1}}+3\vdots 7$

$d.2^{2^{6n+2}}+3\vdots 19$

Đây nha http://diendantoanho...5n-1-vdots-225/

[datcoi961999]

Bài 4:
Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn $a+b+c\vdots 6$.CMR:
$(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 6$

lời giải đơn giản

vì a+b+c $\vdots 6$ nên 1 trong 3 số a, b,c la số chẵn => $3abc\vdots 6$

sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

thì $(a+b)(b+c)(c+a)-2abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

=>$(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 6$

[Ha Manh Huu]

mấy bài này ko biết ai đăng chưa nhưng cứ đăng ủng hộ mấy bạn 99

 Bài 1)tìm nghiệm nguyên dương của pt $ 3^{x}+4^{y} =5^{z}$

Bài 2 ) tồn tại hay ko các số nguyên x ,y trong khoảng (988;1994) sao cho ta có xy+x và xy+y đều là 2 số chính phương khác nhau

Bài 3) Giải pt nghiệm nguyên dương

$2.13^{n} +5.7^{n} +26=k^{2}$

[laiducthang98]

Bài 1 : Chia cả hai vế cho $5^x$ ta có $\frac{3^x}{5^x}+\frac{4^x}{5^x}=1$ 

TH1:x>2 thì VT >1

TH2:x<2 thì VT<1

Vậy chỉ có x=1 là nghiệm của pt 

[Ha Manh Huu]

Bài 1 : Chia cả hai vế cho $5^x$ ta có $\frac{3^x}{5^x}+\frac{4^x}{5^x}=1$ 

TH1:x>2 thì VT >1

TH2:x<2 thì VT<1

Vậy chỉ có x=1 là nghiệm của pt 

đọc kĩ lại đề bài đi ông ơi

[Juliel]

Bài 3) Giải pt nghiệm nguyên dương

$2.13^{n} +5.7^{n} +26=k^{2}$

Hớ hớ, cái đề này đã qua thuần hóa bởi bác Hữu !     

Giải :

Nhận thấy rằng $13\equiv 1(mod3);7\equiv 1(mod3)$ suy ra 

$$VT\equiv 2.1+5.1+26\equiv 0(mod3)\Rightarrow3| k^{2}$$      $(1)$

Ta sẽ chứng minh rằng $VT$ không chia hết cho $9$.

Thật vậy,

Ta có $13^{n}\equiv 4^{n}=(2^{n})^{2}(mod9)$ và $7^{n}\equiv (-2)^{n}=\pm 2^{n}(mod9)$

Do đó $$VT\equiv 2.(2^{n})^{2}\pm 5.2^{n}+26(mod9)$$

Như vậy để chứng minh $VT$ không chia hết cho $9$, ta đi chứng minh $A=2.(2^{n})^{2}\pm 5.2^{n}+26=2t^{2}\pm 5t+26$ không chia hết cho $9$

Gỉa sử $$A=(2t^{2}\pm 5t+26)\vdots 9\Rightarrow 8A=(4t\pm 5)^{2}+183\vdots 9\Rightarrow (4t\pm 5)^{2}+183\vdots 3\Rightarrow (4t\pm 5)^{2}\vdots 3\Rightarrow (4t\pm 5)^{2}\vdots 9$$

Mà $$(4t\pm 5)^{2}+183\vdots 9\Rightarrow 183\vdots 9$$ Điều này vô lí

Do đó $A$ không chia hết cho $9$. Dẫn đến $VT$ không chia hết cho $9$

Suy ra $k^{2}$ không chia hết cho $9$    $(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $k^{2}$ không là số chính phương (vô lí)

 

Vậy : Phương trình không có nghiệm nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 02-08-2013 - 23:01

[Trang Luong]

mấy bài này ko biết ai đăng chưa nhưng cứ đăng ủng hộ mấy bạn 99

 Bài 1)tìm nghiệm nguyên dương của pt $ 3^{x}+4^{y} =5^{z}$

Bài 2 ) tồn tại hay ko các số nguyên x ,y trong khoảng (988;1994) sao cho ta có xy+x và xy+y đều là 2 số chính phương khác nhau

Bài 3) Giải pt nghiệm nguyên dương

$2.13^{n} +5.7^{n} +26=k^{2}$

Bài 3.

Vì n là sô nguyên dương nên $n$ có dạng $3m,3m+1,3m+2$

Nếu $n=3m\Rightarrow 2.13^{n} +5.7^{n} +26=2.13^{3m} +5.7^{3m} +26\equiv 2+5+26\equiv 6(mod9)$ vô lý

Nếu $n=3m+1\Rightarrow 2.13^{n} +5.7^{n} +26=2.13^{3m+1} +5.7^{3m+1} +26\equiv 2.13+5.7+26\equiv 6(mod9)$ vô lý

Nếu $n=3m+2\Rightarrow 2.13^{n} +5.7^{n} +26=2.13^{3m+2} +5.7^{3m+2} +26\equiv 2.13^{2}+5.7^{2}+26\equiv 6(mod9)$ vô lý

Vậy pt vô nghiệm

[Trang Luong]

lời giải đơn giản

vì a+b+c $\vdots 6$ nên 1 trong 3 số a, b,c la số chẵn => $3abc\vdots 6$

sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

thì $(a+b)(b+c)(c+a)-2abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

=>$(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 6$

Cách khác:

Nếu $a+b+c=0\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 6$

Nếu $a+b+c=6\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 6$

Nếu $a+b+c>6$

$(a+b)(b+c)(a+c)-2abc=\frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^{3}-\frac{1}{3}\left ( \sum a^{3} \right )-2abc=\frac{1}{3}\left ( \sum a \right )^{3}-\frac{1}{3}\left ( \sum a^{3}+6abc \right )=\frac{1}{3}\left ( \sum a \right )^{3}-\frac{1}{3}\left [ \left ( a+b+c \right )\left ( \sum a^{2}-\sum ab \right )+9abc \right ]\vdots 6$

[Rias Gremory]

 Bài 1)tìm nghiệm nguyên dương của pt $ 3^{x}+4^{y} =5^{z}$

Bài $1$ được bạn datcoi giải ở đây rồi !!

[Rias Gremory]

$b.3^{3n+3}-26n-27\vdots 169$

Ta chứng minh theo quy nạp

$3^{3n+3}-26n-27=27^{n+1}-26n-27$

Mệnh để đúng với $n=1$ vì $27^{2}-26-27=676$

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$ thì 

$169|27^{k+1}-26k-27$

Bây giờ chỉ cần chứng minh mệnh để đúng với $n=k+1$. 

Ta có : $27^{k+2}-26(k+1)-27=27^{k+1}.27-26k-53=27(27^{k+1}-26k-27)+676k+676$ chia hết cho $169$ vì $169|27^{k+1}-26k-27$

Vậy mệnh đề trên đúng với mọi $n\geq 1$ ($n\in Z$)

[Quanghuy2399]

Bài 9: Chứng minh rằng: $3^{2n+1}+2^{n+2} \vdots 7$ với mọi $n=0;1;2;...$

C1:

 Ta có: 3$^{2n+1}$+2$^{n+2}$=9$^{n}$*3+2$^{n}$*4=3*(9$^{n}$-2$^{n}$)+7*2$^{n}$

  Vì 9$^{n}$-2$^{n}$ chia hết cho 7 với mọi n là số tư nhiên.

 Từ đây ta có điều phải cm.

[rohupt]

Cho $x; y \in \mathbb{N}^{*}; \; x>1$ thoả mãn $2x^2-1=y^{15}$. Cmr $x \vdots 15$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rohupt: 11-12-2013 - 16:29

[rohupt]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rohupt: 11-12-2013 - 18:51

[Quanghuy2399]

Topic hình như đi trật đường thì phải? Mục đích của em BS là ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10 thôi mà sao toàn cho bài như vầy @/_\@.
----

Bài 60: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho phân số $\dfrac{21n+17}{14n+3}$ là số nguyên.

Đặt$a=$\frac{21n+17}{14n+3}$

a là số nguyên nên 2a hay $\frac{42n+34}{14n+3}$ là một số nguyên

Ta có $\frac{42n+34}{14n+3}$=3+$\frac{25}{14n+3}$

Để 2a là số nguyên thì $\frac{25}{14n+3}$ nhận giá trị là một số nguyên khi đó 14n +9 nhận giá trị là ước nguyên dương của 25 .

Tới đây bài toán coi như đã giải xong .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quanghuy2399: 11-12-2013 - 18:54

[Quanghuy2399]

Cho 3 số $x,y,z$ $\in$N*đôi một khác nhau :

Cmr:$(x-y)^{5}+(y-z)^{5}+(z-x)^{5}$ chia hết cho $5(x-y)(y-z)(z-x)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 21-07-2015 - 22:49