Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic các bài toán số học dành cho các bạn chuẩn bị thi tuyển sinh 10 năm 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 185 trả lời

#1 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-08-2012 - 18:47

Hiện nay, các đề thi chuyên toán đều có các câu liên qua đến số học. Nhằm mục đích đó, topic này được thành lập để các bạn giao lưu với nhau các bài toán trong các cuộc thi hay phần nâng cao số học 9 cùng kinh nghiệm giải. Đặc biệt đề và lời giải phù hợp với học sinh lớp 8, 9, không sử dụng những kiến thức quá chuyên sâu. Khuyến khích các mem 98, 99 tham gia giải bài. Đầu tiên mình xin giới thiệu các dạng đơn giản của phương trình nghiệm nguyên:

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: $5x+13y=24$.
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: $2x+3y-xy+9=0$.


Một số điều các bạn nên (cần) tuân thủ khi tham gia topic :).
- Gõ $\LaTeX$, đánh số thứ tự bài đầy đủ.
- Hạn chế post những bài quá khó tầm cỡ Olympic :P.
- Khi post bài tốt nhất các bạn nên chuẩn bị sẵn đáp án để phòng những người khác cần lời giải bài toán đó.
- Không lợi dụng topic để nhờ giải bài tập về nhà.

P/s: Bản thân mình là người hơi yếu số học nên lập topic này, mong các bạn giúp đỡ :).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 26-08-2012 - 07:54

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#2 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 17-08-2012 - 19:08

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: $2x+3y-xy+9=0$.

Làm một bài toán trước mở màn cho topic:
Bài 2:
Biến đổi phương trình:
$$2x+3y-xy+9=0\\ \Leftrightarrow x\left ( 2-y \right )+3\left ( 2-y \right )+3=0\\ \Leftrightarrow \left ( x+3 \right )\left ( y-2 \right )=3$$
Vì $x$, $y$ nguyên nên suy ra $x+3$ và $y-2$ nguyên. Do đó để phương trình có nghiệm nguyên thì $x+3$ và $y-2$ phải là ước của 3.
Hay ta có:
  • $x+3=1\wedge y-2=3\Leftrightarrow x=-2\wedge y=5$.
  • $x+3=3\wedge y-2=1\Leftrightarrow x=0\wedge y=3$.
  • $x+3=-3\wedge y-2=-1\Leftrightarrow x=-6\wedge y=1$.
  • $x+3=-1\wedge y-2=-3\Leftrightarrow x=-4\wedge y=-1$.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $\boxed{\left ( x;y \right )=\left ( -2;5 \right );\left ( 0;3 \right );\left ( -6;1 \right );\left ( -4;-1 \right )}$.
----
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-08-2012 - 19:54

Thích ngủ.


#3 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 17-08-2012 - 19:32

5x+13y=24 (1)
$\Leftrightarrow x=\frac{24-13y}{5}=4-2y+\frac{4-3y}{5}$
Đặt $\frac{4-3y}{5}=t\Leftrightarrow y=\frac{4-5t}{3}=1-2t+\frac{1+t}{3}$
Đặt $\frac{1+t}{3}=u\Leftrightarrow t=3u-1$
Từ đây ta có:
$\left\{\begin{matrix} x=4-2y+t & & \\ y=1-2t+u & & \\ t=3u-1 & & \end{matrix}\right.$
Ta tính x,y theo u
$\left\{\begin{matrix} x=13u-3 & \\ y=3-5u & \end{matrix}\right.$ với u là số nguyên
Đây chính là nghiệm nguyên tổng quát của phương trình (1)
Kinh nghiệm: Để giải các bài này, chúng ta tính x theo y. Nếu có dạng: $x=\frac{ay+b}{c}$ thì ta thêm bớt làm sao cho hệ số a,b nhỏ (1;2;3;-1;-2;-3;...) để dễ đặt ẩn t. Sau đó ta tính x,y theo t với t là số nguyên bất kì Nếu t vẫn còn phép chia thì ta đặt thêm ẩn u như trên để tính x,y theo u sao cho nghiệm tổng quát của x,y không có phép chia. Đây chính là dạng đơn giản nhất của phương trình nghiệm nguyên. (dạng 1)

Dạng 2: Phương trình tích: Một số phương trình ta có thể biến đổi tương đương về dạng $(ax+b)(cy+d)=e$ với a,b,c,d,e,x,y nguyên thì khi đó, (ax+b) và (cy+d) là các ước của e sao cho $(ax+b)(cy+d)=e$

Bài 3: 2x+3y-4xy=10

#4 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 17-08-2012 - 19:54

Bài 3: 2x+3y-4xy=10

Thấy các em không vào thảo luận nhiều nhỉ :P bài này tương tự như bài $2$ :P
Lời giải:
Biến đổi phương trình:
$$2x+3y-4xy=10\\\Leftrightarrow 4x+6y-8xy=20\\ \Leftrightarrow 4x\left ( 1-2y \right )-3\left ( 1-2y \right )=17\\ \Leftrightarrow \left ( 4x-3 \right )\left ( 1-2y \right )=17$$
Ta thấy $17$ là số nguyên tố nên ta phân tích được thành: $23=17.1=\left ( -17 \right )\left ( -1 \right )$.
Do đó ta có:
  • $4x-3=17\wedge 1-2y=1\Leftrightarrow x=5\wedge y=0$.
  • $4x-3=-17\wedge 1-2y=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{7}{2}\wedge y=1$ (loại do $x$ không nguyên).
  • $4x-3=-1\wedge 1-2y=-17\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\wedge y=9$ (loại do $x$ không nguyên).
  • $4x-3=1\wedge 1-2y=17\Leftrightarrow x=1\wedge y=-8$.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $\boxed{\left ( x;y \right )=\left ( 5;0 \right );\left ( 1;-8 \right )}$.
----
Các bạn nếu thích thì đóng khung kết quả lại cho đẹp nhé ^^
$\boxed{\mathbf{ket_qua}}$
hay
$\fbox{ket_qua}$
.
----
Bài 4: Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $A=2005^n+60^n-1897^n-168^n$ chia hết cho $2004$.

Thích ngủ.


#5 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 17-08-2012 - 19:58

Bài 4:
Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn $a+b+c\vdots 6$.CMR:
$(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 17-08-2012 - 20:16

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#6 C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-08-2012 - 20:09

Bài 5:
Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn $a+b+c\vdots 6$.CMR:
$(a+b)(b+c)(c+a)-abc\vdots 6$

Bài 5 hình như anh ghi nhầm đề rồi, phải là: Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn $a+b+c\vdots 6$.CMR:
$(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 6$
Bài 5 đã được chứng minh tại đây: http://diendantoanho...ết/page__st__20 (#37)

Giải
Ta có $(a+b)(b+c)(c+a)-2abc $

$= a^2.b+ab^2+b^.c+bc^2+c^2.a+ca^2$

$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)$

$ =6.A+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) -3abc=6.A+6.B-3abc$

Vì $a+b+c$ $\vdots$ $6 \Rightarrow$ Trong 3 số a, b, c phải có 1 số chẵn

$\Rightarrow 3abc$ $\vdots$ $6 \Rightarrow$ đpcm



Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 17-08-2012 - 20:12

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#7 C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-08-2012 - 20:23

----
Bài 4: Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $A=2005^n+60^n-1897^n-168^n$ chia hết cho $2004$.

Từ đầu bài suy ra: $A=(2005^n-1897^n)-(168^n-60^n)$
Ta có:
$2005^n-1897^n \vdots 2005-1897=108 \vdots 12$
$168^n-60^n \vdots 168-60=108 \vdots 12$
$\Rightarrow A \vdots 12$ (1)
Từ đầu bài ta cũng có: $A=(2005^n-168^n)-(1879^n-60^n)$
Ta có:
$2005^n-168^n \vdots 2005-168=1837 \vdots 167$
$1897^n-60^n \vdots 1897-60=1837 \vdots 167$
$\Rightarrow A \vdots 167$ (2)
Mà $2004=12.167$ và $(12;167)=1$ (3)
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow A \vdots 2004$
----
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 18-08-2012 - 18:30

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#8 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 17-08-2012 - 20:34

Bài 6: Cho $a$, $b$ là các số nguyên dương sao cho $a^2+b^2$ chia hết cho tích $ab$. Tính giá trị biểu thức: $\dfrac{a^2+b^2}{ab}$.

Thích ngủ.


#9 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 17-08-2012 - 20:48

Bài 6: Cho $a$, $b$ là các số nguyên dương sao cho $a^2+b^2$ chia hết cho tích $ab$. Tính giá trị biểu thức: $\dfrac{a^2+b^2}{ab}$.

Chém luôn bài này(Topic sôi động quá :D)
Đặt $\frac{a^2+b^2}{ab}=k\Rightarrow a^2+b^2=kab$
Giả sử $a\neq b$
Gọi d là ước nguyên tố lớn nhất của a,b $\Rightarrow a=da',b=db'(a\neq b)$
Thay vào,ta có :
$d^2a'^2+d^2b'^2=kd^2a'b'\Rightarrow a'^2+b'^2=ka'b'$
Từ hệ thức => $a'^2\vdots b',b'^2\vdots a'\Rightarrow a'=b'$ Mâu thuẫn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đây là bài toán 2 chiều rất đẹp.Cho a,b là các số nguyên.CMR $a^2+b^2\vdots ab\Leftrightarrow a=b$ các bạn ôn thi tuyển sinh chuyên nên xem kĩ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 17-08-2012 - 20:48

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#10 ckuoj1

ckuoj1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 17-08-2012 - 20:58

Cho mình góp vui với ^^
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$x^{4} - y^{4} + z^{4}+2x^{2}z^{2}+3x^{2}+4z^{2}+1=0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-08-2012 - 21:05

Những người thông minh là những người biết bị thần kinh đúng lúc ^^

#11 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 17-08-2012 - 21:00

Cho mình góp vui với ^^
Bài 7 : Giair phương trình nghiệm nguyên
$x^{4} - y^{4} + z^{4}+2x^{2}z^{2}+3x^{2}+4z^{2}+1$

Phương trình...Không vế phải sao. :P
----
Đã fix :P

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-08-2012 - 21:05

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#12 ckuoj1

ckuoj1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 17-08-2012 - 21:05

Phương trình...Không vế phải sao. :P

đã sửa đề :P.
Những người thông minh là những người biết bị thần kinh đúng lúc ^^

#13 lth080998

lth080998

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10 Toan PTNK TPHCM

Đã gửi 17-08-2012 - 21:09

Ai có mấy bài đồng dư Căn bản đến nâng cao up lên giúp em ạ

#14 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 17-08-2012 - 21:13

Ai có mấy bài đồng dư Căn bản đến nâng cao up lên giúp em ạ

Của em đây ^^ (của thầy ở Dak Lak nữa chứ :P).
File gửi kèm  Ứng dụng lý thuyết đồng dư - Hà Huy Nghĩa.pdf   726.53K   851 Số lần tải
Spoiler

Thích ngủ.


#15 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 17-08-2012 - 21:14

Cho mình góp vui với ^^
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$x^{4} - y^{4} + z^{4}+2x^{2}z^{2}+3x^{2}+4z^{2}+1=0$$

Giải như sau:
$$(x^2+z^2)^2-y^4+4(x^2+z^2)-x^2+1=0$$
$$\Leftrightarrow (x^2+z^2+2)^2-x^2-3=y^4$$
Nhận thấy $(x^2+z^2+2)^2-x^2-3>(x^2+z^2+2)^2$
Và $(x^2+z^2+1)^2=x^4+z^4+1+2x^2z^2+2x^2+2z^2<(x^2+z^2+2)^2-x^2-3$ (kẹp giữa hai số chính phương)
Đó gợi ý vậy là ngon rồi :D

#16 daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi nào có toán...

Đã gửi 17-08-2012 - 21:14

Cho mình góp vui với ^^
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$x^{4} - y^{4} + z^{4}+2x^{2}z^{2}+3x^{2}+4z^{2}+1=0$$


Bài 7 đã có ở đây.:D
http://diendantoanho...42x2z23x24z210/

#17 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 17-08-2012 - 21:19

Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên tố $P$ có dạng: $P=n^n+1$, trong đó $n$ là một số nguyên dương. Biết $P$ có không nhiều hơn $19$ chữ số.

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHSPHN năm $2000$)

Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-08-2012 - 21:20

Thích ngủ.


#18 daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi nào có toán...

Đã gửi 17-08-2012 - 21:31

Bài 8 đã có ở đây. http://diendantoanho...-hơn-19-chữ-số/
P/S: post mấy bài ko có trong VMF đi :D

#19 C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-08-2012 - 21:38

Bài 9: Chứng minh rằng: $3^{2n+1}+2^{n+2} \vdots 7$ với mọi $n=0;1;2;...$

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#20 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 17-08-2012 - 21:42

Bài 10: Cho hai lũy thừa: $2^n$ và $5^n$ với $n\in N^*$.
a) Hãy tìm $n$ nhỏ nhất để $2^n$ và $5^n$ có cùng chữ số đầu tiên.
b) Chứng minh rằng nếu với $n$ nào đó mà $2^n$ và $5^n$ có chữ số đầu tiên thì chữ số đầu tiên ấy là duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-08-2012 - 21:43

Thích ngủ.





4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh