Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic các bài toán số học dành cho các bạn chuẩn bị thi tuyển sinh 10 năm 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 185 trả lời

#21 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 17-08-2012 - 21:42

Bài 9: Chứng minh rằng: $3^{2n+1}+2^{n+2} \vdots 7$ với mọi $n=0;1;2;...$

Cách 1: Qui nạp (nhưng không hay)
Cách 2:
$3^{2n+1}=3.9^{n}=3.(7+2)^{n}=3.(7a+2^{n})=21a+3.2^{n}$
$2^{n+2}=4.2^{n}$
Cộng lại ta được: $7.2^{n}+21a\vdots 7\Rightarrow Q.E.D$

#22 duongchelsea

duongchelsea

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-08-2012 - 22:10

Bài 10: Cho hai lũy thừa: $2^n$ và $5^n$ với $n\in N^*$.
a) Hãy tìm $n$ nhỏ nhất để $2^n$ và $5^n$ có cùng chữ số đầu tiên.
b) Chứng minh rằng nếu với $n$ nào đó mà $2^n$ và $5^n$ có chữ số đầu tiên thì chữ số đầu tiên ấy là duy nhất.

Với $n=5$ thì $2^n=32, 5^n=3125$ suy ra $2^n, 5^n$ có cùng chữ số đầu.
Giả sử $2^n, 5^n$ có cùng chữ số đầu là $a (1\leq a\leq 9)$. Giả sử $2^n$ có k chữ số, $5^n$ có m chữ số.
Ta có:
$$a.10^{k-1}< 2^n< (a+1).10^{k-1}$$ và $$a.10^{m-1}< 5^n< (a+1).10^{m-1}$$
$$\Rightarrow a^2< 10^{n-k-m+2}< (a+1)^2\Rightarrow 1\leq n-k-m+2< 2 (1\leq a\leq 9)\Rightarrow n-k-m+2=1\Rightarrow a^2< 10< (a+1)^2\Rightarrow a=3$$

P/s: Đây là bài 3 đề thi vào 10 chuyên toán CVA và HN-Amsterdam năm 1993.
----
$L$: Trích dẫn bài cho tiện theo dõi nhé bạn :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-08-2012 - 22:14


#23 nth1235

nth1235

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 - THPT Thống Nhất A

Đã gửi 18-08-2012 - 07:23

Từ đầu bài suy ra: $A=(2005^n-1897^n)-(168^n-60^n)$
Ta có:
$2005^n-1897^n \vdots 2005-1897=108 \vdots 12$
$168^n-60^n \vdots 168-60=108 \vdots 12$
$\Rightarrow A \vdots 12$ (1)
Từ đầu bài ta cũng có: $A=(2005^n-168^n)-(1879^n-60^n)$
Ta có:
$2005^n-168^n \vdots 2005-168=1837 \vdots 167$
$1897^n-60^n \vdots 1897-60=1837 \vdots 167$
$\Rightarrow A \vdots 167$ (2)
Mà $2004=12.167$ (3)
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow A \vdots 2004$
----

Spoiler

Bài này bạn nên chú ý chỗ (3). Chỗ đó chỉ đúng khi (12,167) = 1. Bạn nên lý luận thêm.
Một vd để bạn thấy nó sẽ ra sao nếu ko có điều kiện đó :
4 chia hết cho 2 và 4 chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 2.4 = 8.

#24 nth1235

nth1235

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 - THPT Thống Nhất A

Đã gửi 18-08-2012 - 07:52

Post mấy bài góp vui :
$11)$ Cho $a, b, c, d$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a , b) = (c , d) = 1.$
Chứng minh nếu $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ là số nguyên thì $b = d$.
$12)$ Tìm số có hai chữ số $\bar{ab}$ sao cho $ p = \frac{a.b}{\left| a - b \right|}$ là số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nth1235: 18-08-2012 - 07:57


#25 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-08-2012 - 12:00

$12)$ Tìm số có hai chữ số $\bar{ab}$ sao cho $ p = \frac{a.b}{\left| a - b \right|}$ là số nguyên tố.

Lời giải:
Giả sử $a\geq b$. Từ giả thuyết suy ra:
$$p=\dfrac{ab}{\left | a-b \right |}\\
\Leftrightarrow p=\dfrac{ab}{a-b}\\
\Leftrightarrow \left ( a-b \right )p=ab\\
\Leftrightarrow ap-bp-ab+p^2=p^2\\
\Leftrightarrow \left ( a+p \right )\left ( p-b \right )=p^2$$
Vì $a$, $b$ không đồng thời bằng $0$ nên $a+p=p^2$ và $p-b=1$. Vì $1\leq a\leq 9$ nên $p\leq 3$. Từ đây dễ dàng tìm được $\overline{ab}$.
Đáp số: $\boxed{\overline{ab}\in \left \{ 26, 62, 12, 21 \right \}}$ $\blacksquare$
----
Spoiler

Thích ngủ.


#26 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 18-08-2012 - 15:06

Post mấy bài góp vui :
$11)$ Cho $a, b, c, d$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a , b) = (c , d) = 1.$
Chứng minh nếu $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ là số nguyên thì $b = d$.

Giải như sau:
$\dfrac{ad+bc}{bd}$ là số nguyên
Suy ra $ad+bc \vdots bd \Rightarrow ad \vdots b \Rightarrow d \vdots b$ (do $gcd(a,b)=1$)
Cm tương tự $b \vdots d$ suy ra $b=d$ nên ta có $đpcm$

#27 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-08-2012 - 15:20

Bài 12: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $\left ( p,q \right )$ sao cho $p^2-2q^2=1$.
----
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 18-08-2012 - 15:21

Thích ngủ.


#28 duongchelsea

duongchelsea

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-08-2012 - 16:32

Bài 12: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $\left ( p,q \right )$ sao cho $p^2-2q^2=1$.
----

Spoiler

Với $p=3$ thì $q=2$.
Với $q=3$ thì $p^2=19$ vậy không tồn tại p.
Với p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì
$p^2\equiv 1(mod 3); 2q^2\equiv 2(mod 3)\Rightarrow p^2-2q^2\equiv 2(mod 3)$
mà $p^2-2q^2=1$
Suy ra vô lí.
Vậy cặp số nguyên tố thỏa mãn là $(3;2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 18-08-2012 - 16:37


#29 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-08-2012 - 16:45

Bài 13: Tìm các số tự nhiên $n$ $\left ( n\geq 1 \right )$ sao cho $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số.
Spoiler

Bài 14: Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng: $2^{1994^{n}}+17$ trong đó $n$ là một số tự nhiên.
Spoiler

----
Spoiler
______
___
Bài 13 đã được đóng dấu bởi BlackSelena.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 18-08-2012 - 17:05

Thích ngủ.


#30 duongchelsea

duongchelsea

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-08-2012 - 16:48

Bài 15: Tìm $x,y,z$ là các số nguyên tố sao cho $x^y+1=z$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 18-08-2012 - 16:53


#31 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 18-08-2012 - 16:50

Bài 13: Tìm các số tự nhiên $n$ $\left ( n\geq 1 \right )$ sao cho $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số.

Spoiler

Bài 14: Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng: $2^{1994^{n}}+17$ trong đó $n$ là một số tự nhiên.
Spoiler

----
Spoiler

Gợi ý nhé
Bài 13: Xét modulo $7$ và nhận thấy $2^6 \equiv 1 \pmod{7}$
Bài 14: Xét modulo $3$ cực đơn giản
Bài 12: Xét modulo $4$

#32 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-08-2012 - 16:51

Bài 15: Tìm $x,y,z\in P$ sao cho $x^y+1=z$.

Cho mình hỏi câu này, tập hợp $P$ là tập hợp gì mà nghe lạ quá @@
@nguyenta98:
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 18-08-2012 - 16:52

Thích ngủ.


#33 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 18-08-2012 - 16:52

Bài 15: Tìm $x,y,z\in P$ sao cho $x^y+1=z$.

Giải như sau:
TH1: $x=2 \Rightarrow 2^y+1=z$
Nếu $y$ chẵn thì $y=2$ suy ra $z=5$
Nếu $y$ lẻ thì $2^y+1=(2+1)(2^{y-1}-2^{y-2}+...+2^2-2+1)=z$ suy ra $z$ là hợp số loại
TH2: $x\geq 3$ suy ra $3^y+1=z$ mà $y$ là số nguyên tố nên $y\geq 2$ nên $3^y+1$ chẵn và $>2$
Nên loại
Vậy $x=y=2,z=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 18-08-2012 - 17:08


#34 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-08-2012 - 18:22

Bài 13: Tìm các số tự nhiên $n$ $\left ( n\geq 1 \right )$ sao cho $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số.

Spoiler


Bài 13 đã được đóng dấu bởi BlackSelena.

$2^{2^{2n+1}} + 3$
$=16^n.4 + 3$
Nhận thấy $16 \equiv 2 \pmod{7}$
$\Rightarrow =16^n.4 + 3 \equiv 2^n.4+3 \pmod{7}$
$2^n.4+3$
$=2^n.4 - 4 + 7$
$=4(2^n-1) +7$
Vì $2^{3k} \equiv 7 \pmod{7}$
$\Rightarrow 2^{3k} - 1 \vdots 7$
$\Rightarrow 4(2^{3k}-1) + 7 \vdots 7$
Vậy để $2^{2^{2n+1}} + 3$ là hợp số thì $n$ phải có dạng $3k$.
Last night, hú hu hù.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 18-08-2012 - 18:31

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#35 nth1235

nth1235

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 - THPT Thống Nhất A

Đã gửi 18-08-2012 - 18:26

Cho mình hỏi câu này, tập hợp $P$ là tập hợp gì mà nghe lạ quá @@
@nguyenta98:

Spoiler

Tập hợp $P$ là tập hợp số nguyên tố.
Ps : Sao toàn người quen giải bài không vậy ??? Đề nghị "Cao thủ số học" Tạ Hà Nguyên ngừng việc post lời giải lên nữa, phải để cho mấy bạn khác làm với chứ. :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nth1235: 18-08-2012 - 18:41


#36 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-08-2012 - 18:31

$2^{2^{2n+1}} + 3$
$=16^n.4 + 3$
Nhận thấy $16 \equiv 2 \pmod{7}$
$\Rightarrow =16^n.4 + 3 \equiv 2^n.4+3 \pmod{7}$
$2^n.4+3$
$=2^n.4 - 4 + 7$
$=4(2^n-1) +7$
Vì $2^3k \equiv 7 \pmod{7}$
$\Rightarrow 2^3k - 1 \vdots 7$
$\Rightarrow 4(2^{3k}-1) + 7 \vdots 7$
Vậy để $2^{2^{2n+1}} + 3$ là hợp số thì $n$ phải có dạng $3k$.
Last night, hú hu hù.

Xem lại đi em nhé, câu trả lời là với mọi $n\geq 1$ thì biểu thức đó là hợp số :)
----
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 18-08-2012 - 18:41

Thích ngủ.


#37 C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-08-2012 - 18:41

Bài 16: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho tổng $2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 18-08-2012 - 18:41

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#38 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 18-08-2012 - 19:42

Bài 16: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho tổng $2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương

Giải như sau:
$$2^8+2^{11}+2^n=x^2 \Rightarrow 48^2+2^n=x^2 \rightarrow 2^n=(x-48)(x+48) \Rightarrow x-48=2^a,x+48=2^b \Rightarrow 2^b-2^a=96$$
Đến đây mọi việc đơn giản :D

#39 tranhydong

tranhydong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:10CT,THPT chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM

Đã gửi 18-08-2012 - 20:40

Bài toán 17 : Tìm x nguyên dương nhỏ nhất sao cho $2000!$ chia hết cho $23^{x+6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 18-08-2012 - 21:08


#40 C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-08-2012 - 20:41

Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên $a;b;c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=a^2b^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 18-08-2012 - 20:42

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh