Đến nội dung

Hình ảnh

Topic các bài toán số học dành cho các bạn chuẩn bị thi tuyển sinh 10 năm 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 185 trả lời

#121
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết
là điều kiện để biểu thức trong ngoặc bằng 1 đó BS :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 21-10-2012 - 16:04


#122
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
n = 7 + 11m hoặc n = 6 + 11m (m là số nguyên dương)

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#123
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

n = 7 + 11m hoặc n = 6 + 11m (m là số nguyên dương)

Bạn có thể trình bày rõ lời giải ra không, chứ nói như vậy ai mà hiểu được.

#124
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Bài 62: Chứng minh rằng nếu $2^n - 1 \vdots 9$ thì $2^{n-1} \vdots 7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 05-11-2012 - 20:05


#125
abcdefghklmn

abcdefghklmn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Bài 62: Chứng minh rằng nếu $2^n - 1 \vdots 9$ thì $2^{n-1} \vdots 7$

Theo Phéc - ma nhỏ ta có: $2^6 \equiv 1 (mod 7) $vì (2, 7) = 1
Đặt: n = 6q + r với r = 0, 1, 2 , 3, 4, 5. Để ý rằng $2^6 \equiv 1 (mod 9) $ nên $2^n - 1 \equiv 2^r - 1 (mod 9) $ Thử thì thấy chỉ có r = 0 thỏa mãn.@@@@@@@@@@@@
Mà bạn xem lại đề đi vì $2^m$ chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 làm sao chia hết cho 7 được. Theo mình thì đề đúng phải là $2^n - 1 \vdots 7$. Như thế thì theo trên ta có ngay đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abcdefghklmn: 05-11-2012 - 20:44


#126
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Sôi nổi lên nào mọi người ơi ^^:
Bài 63: Chứng minh rằng $1961^{1962} + 1963^{1964} + 1965^{1966} +2 \vdots 7$ (ko xài đồng dư thì càng tốt ^^)

#127
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Sôi nổi lên nào mọi người ơi ^^:
Bài 63: Chứng minh rằng $1961^{1962} + 1963^{1964} + 1965^{1966} +2 \vdots 7$ (ko xài đồng dư thì càng tốt ^^)

Ta có:
$1961^{1962} + 1963^{1964} + 1965^{1966} +2$
$=(1960+1)^{1962}+(1960+3)^{1964}+(1967-2)^{1966}+2$
$=(\text{BS}7+1)+(\text{BS}7+3^{1964})+(\text{BS}7+2^{1966})+2$
$=\text{BS}7+3^{1964}+2^{1966}+3$
$=\text{BS}7+9.3^{1962}+2.2^{1965}+3$
$=\text{BS}7+9.(3^6)^{327}+2.(2^3)^{655}+3$
$=\text{BS}7+9.729^{327}+2.8^{655}+3$
$=\text{BS}7+9.(728+1)^{327}+2.(7+1)^{655}+3$
$=\text{BS}7+9.(\text{BS}7+1)+2.(\text{BS}7+1)+3$
$=\text{BS}7+(\text{BS}7+9)+(\text{BS}7+2)+3$
$=\text{BS}7+14$ $\vdots$ $7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 07-01-2013 - 10:17


#128
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
Góp mấy bài cho topic sống lại nè ^^:
Bài 64: Chứng minh $2^{8n}.5^{6n}-1980^n-441^n+1$ chia hết cho $1979,$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 65: Chứng minh $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}$ chia hết cho $59$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 66: Chứng minh rằng $1^3+2^3+3^3+...+100^3$ là số chính phương.
Bài 67: Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $a$ sao cho $z=n^4+a$ không là số nguyên tố với mọi $n$ nguyên dương.
Bài 68: Tìm số dư khi chia $9^{10^{11}}-5^{9^{10}}$ cho $13.$

___________
P/s: Một số bài ở trên không dùng đồng dư nhé :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 07-01-2013 - 10:47


#129
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Sao cái cách nhanh nhất khi giải dạng này là đồng dư thức mà không một ai cho dùng thế ? :D

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#130
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Sao cái cách nhanh nhất khi giải dạng này là đồng dư thức mà không một ai cho dùng thế ? :D

Tại đi thi chỗ mình lên lớp 10 không được dùng đồng dư bạn à :)

#131
Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết

Góp mấy bài cho topic sống lại nè ^^:
Bài 64: Chứng minh $2^{8n}.5^{6n}-1980^n-441^n+1$ chia hết cho $1979,$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 65: Chứng minh $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}$ chia hết cho $59$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 66: Chứng minh rằng $1^3+2^3+3^3+...+100^3$ là số chính phương.
Bài 67: Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $a$ sao cho $z=n^4+a$ không là số nguyên tố với mọi $n$ nguyên dương.
Bài 68: Tìm số dư khi chia $9^{10^{11}}-5^{9^{10}}$ cho $13.$

___________
P/s: Một số bài ở trên không dùng đồng dư nhé :)

Gợi ý:
Bài 64: Gọi biểu thức đã cho là A. Ta có: A = $2000^{2n}-21^{2n} - (1980^n -1)=1979.M-1979.N \vdots 1979$.
Bài 65: Gọi biểu thức đã cho là B. Ta có: B = $59.5^n+8(64^n-5^n)=59.H+59.K \vdots 59$.
Bài 66: BT này dùng PP quy nạp chứng minh thì sẽ dễ hơn: $1^3+2^3+...+n^3= \left( {\frac{n(n+1)}{2}} \right)^2$ thay n = 100 vào là có ngay đpcm.
Bài 67: BT này thật ngộ nghĩnh. Với mỗi n lẻ ta sẽ có vô số số tự nhiên lẻ a lớn hơn 1 thỏa mãn yêu cầu BT. Với mỗi n chẵn ta cũng có vô số số chẵn a lớn hơn 0 thỏa mãn yêu cầu BT. => đpcm.
Bài 68: Đặt biểu thức đã cho là A. Ta có: $9^3$ chia 13 dư 1 và $5^4$ chia 13 dư 1 (may quá). Do đó: A = $9^{3k+1}-5^{4k+1}=9(13G+1)-5(13J+1)=13R+4$ chia cho 13 dư 4.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Beautifulsunrise: 08-01-2013 - 09:34


#132
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Cụ thể về pp quy nạp bài 66 ^^~:
http://diendantoanho..._40#entry347383

#133
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Hâm nóng topic nào :(.
Bài 69: Giải phương trình nghiệm nguyên $5^x + 2.5^y + 5^z = 4500$ với $x<y<z$

#134
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết

Hâm nóng topic nào :(.
Bài 69: Giải phương trình nghiệm nguyên $5^x + 2.5^y + 5^z = 4500$ với $x<y<z$

$x<y<z$ làm ta nghĩ đến việc xét khoảng
#: $z<5 \implies VT < VP$
#: $z>5 \implies VT > VP$
#: $z=5$, thay, và thử $(x;y;z)=(3;4;5)$

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#135
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Tiếp cho nóng nào :P
Bài 70: Giải phương trình nghiệm nguyên

$x^2 + y^2 + z^2 = 807$ ( một bài dễ ~~)



#136
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết

Tiếp cho nóng nào :P
Bài 70: Giải phương trình nghiệm nguyên

$x^2 + y^2 + z^2 = 807$ ( một bài dễ ~~)

----------
Có $x^2 + y^2 + z^2 = 807 \equiv 3 \pmod 4\\ \implies x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 1 \pmod 4 \\ \iff 2\nmid x, y, z$
Đặt $x = 2x_1 + 1,y = 2y_1 + 1,z = 2z_1 + 1$
Phương trình tương đương 

$4 x^2+4 x+4 y^2+4 y+4 z^2+4 z+3 = 807 \\ \iff {x}^{2}+x+{y}^{2}+y+{z}^{2}+z=201 \\ \iff x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)=201$

Mà $2 \mid VT \land 2 \nmid VP\implies$ vô nghiệm

 

Xin góp 1 bài: 

Bài 71: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $a^3 + b^3 + c^3 = 2001$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 19-03-2013 - 17:51

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#137
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Ý tưởng chung của bài 71 là giới hạn miền nghiệm $a \ge b \ge c$ khi đó $3c^3 \le 2001 \Leftrightarrow c \le 8$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#138
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết

tưởng chung của bài 71 là giới hạn miền nghiệm $a \ge b \ge c$ khi đó $3c^3 \le 2001 \Leftrightarrow c \le 8$.

 

Anh đã thử và cảm nhận: a long story

Giới hạn như vậy: 8 trường hợp của c, mỗi trường hợp của c lại có vài trường hợp của a, b $\implies$ khá dài (cần kết hợp đồng dư, lời giải sẽ dễ chịu hơn)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 20-03-2013 - 20:27

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#139
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Vậy thì em sẽ thêm tính chất $a^3 \equiv 0,1,8 \pmod{9}$ nữa :D

Nếu cả ba số $a^3,b^3,c^3$ đều chia $9$ dư $1$ thì giới hạn như trên để tìm $c$.

Nếu ba số $a^3,b^3,c^3$ có nhiều nhất hai số chia $9$ dư $1$ thì mâu thuẫn với phương trình vì $2001 \equiv 3 \pmod{9}$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#140
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Cho x=$\underset{2011 c/s 1}{11...1}$

        y=$1 \underset{2010 c/s 0}{00...0}5$

CMR $\sqrt{xy+1}$ là số tự nhiên


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh