Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 21-10-2012 - 16:04
Topic các bài toán số học dành cho các bạn chuẩn bị thi tuyển sinh 10 năm 2013-2014
#121
Đã gửi 21-10-2012 - 16:03
#122
Đã gửi 01-11-2012 - 20:57
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#123
Đã gửi 01-11-2012 - 22:06
Bạn có thể trình bày rõ lời giải ra không, chứ nói như vậy ai mà hiểu được.n = 7 + 11m hoặc n = 6 + 11m (m là số nguyên dương)
#124
Đã gửi 05-11-2012 - 20:05
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 05-11-2012 - 20:05
- Dung Dang Do yêu thích
#125
Đã gửi 05-11-2012 - 20:34
Theo Phéc - ma nhỏ ta có: $2^6 \equiv 1 (mod 7) $vì (2, 7) = 1Bài 62: Chứng minh rằng nếu $2^n - 1 \vdots 9$ thì $2^{n-1} \vdots 7$
Đặt: n = 6q + r với r = 0, 1, 2 , 3, 4, 5. Để ý rằng $2^6 \equiv 1 (mod 9) $ nên $2^n - 1 \equiv 2^r - 1 (mod 9) $ Thử thì thấy chỉ có r = 0 thỏa mãn.@@@@@@@@@@@@
Mà bạn xem lại đề đi vì $2^m$ chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 làm sao chia hết cho 7 được. Theo mình thì đề đúng phải là $2^n - 1 \vdots 7$. Như thế thì theo trên ta có ngay đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abcdefghklmn: 05-11-2012 - 20:44
- BlackSelena yêu thích
#126
Đã gửi 11-11-2012 - 10:31
Bài 63: Chứng minh rằng $1961^{1962} + 1963^{1964} + 1965^{1966} +2 \vdots 7$ (ko xài đồng dư thì càng tốt ^^)
- hxthanh và Dung Dang Do thích
#127
Đã gửi 07-01-2013 - 10:16
Ta có:Sôi nổi lên nào mọi người ơi ^^:
Bài 63: Chứng minh rằng $1961^{1962} + 1963^{1964} + 1965^{1966} +2 \vdots 7$ (ko xài đồng dư thì càng tốt ^^)
$1961^{1962} + 1963^{1964} + 1965^{1966} +2$
$=(1960+1)^{1962}+(1960+3)^{1964}+(1967-2)^{1966}+2$
$=(\text{BS}7+1)+(\text{BS}7+3^{1964})+(\text{BS}7+2^{1966})+2$
$=\text{BS}7+3^{1964}+2^{1966}+3$
$=\text{BS}7+9.3^{1962}+2.2^{1965}+3$
$=\text{BS}7+9.(3^6)^{327}+2.(2^3)^{655}+3$
$=\text{BS}7+9.729^{327}+2.8^{655}+3$
$=\text{BS}7+9.(728+1)^{327}+2.(7+1)^{655}+3$
$=\text{BS}7+9.(\text{BS}7+1)+2.(\text{BS}7+1)+3$
$=\text{BS}7+(\text{BS}7+9)+(\text{BS}7+2)+3$
$=\text{BS}7+14$ $\vdots$ $7$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 07-01-2013 - 10:17
#128
Đã gửi 07-01-2013 - 10:27
Bài 64: Chứng minh $2^{8n}.5^{6n}-1980^n-441^n+1$ chia hết cho $1979,$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 65: Chứng minh $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}$ chia hết cho $59$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 66: Chứng minh rằng $1^3+2^3+3^3+...+100^3$ là số chính phương.
Bài 67: Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $a$ sao cho $z=n^4+a$ không là số nguyên tố với mọi $n$ nguyên dương.
Bài 68: Tìm số dư khi chia $9^{10^{11}}-5^{9^{10}}$ cho $13.$
___________
P/s: Một số bài ở trên không dùng đồng dư nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 07-01-2013 - 10:47
- Zaraki và Tienanh tx thích
#129
Đã gửi 07-01-2013 - 19:51
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#130
Đã gửi 07-01-2013 - 20:10
Tại đi thi chỗ mình lên lớp 10 không được dùng đồng dư bạn àSao cái cách nhanh nhất khi giải dạng này là đồng dư thức mà không một ai cho dùng thế ?
- Tienanh tx yêu thích
#131
Đã gửi 07-01-2013 - 20:44
Gợi ý:Góp mấy bài cho topic sống lại nè ^^:
Bài 64: Chứng minh $2^{8n}.5^{6n}-1980^n-441^n+1$ chia hết cho $1979,$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 65: Chứng minh $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}$ chia hết cho $59$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 66: Chứng minh rằng $1^3+2^3+3^3+...+100^3$ là số chính phương.
Bài 67: Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $a$ sao cho $z=n^4+a$ không là số nguyên tố với mọi $n$ nguyên dương.
Bài 68: Tìm số dư khi chia $9^{10^{11}}-5^{9^{10}}$ cho $13.$
___________
P/s: Một số bài ở trên không dùng đồng dư nhé
Bài 64: Gọi biểu thức đã cho là A. Ta có: A = $2000^{2n}-21^{2n} - (1980^n -1)=1979.M-1979.N \vdots 1979$.
Bài 65: Gọi biểu thức đã cho là B. Ta có: B = $59.5^n+8(64^n-5^n)=59.H+59.K \vdots 59$.
Bài 66: BT này dùng PP quy nạp chứng minh thì sẽ dễ hơn: $1^3+2^3+...+n^3= \left( {\frac{n(n+1)}{2}} \right)^2$ thay n = 100 vào là có ngay đpcm.
Bài 67: BT này thật ngộ nghĩnh. Với mỗi n lẻ ta sẽ có vô số số tự nhiên lẻ a lớn hơn 1 thỏa mãn yêu cầu BT. Với mỗi n chẵn ta cũng có vô số số chẵn a lớn hơn 0 thỏa mãn yêu cầu BT. => đpcm.
Bài 68: Đặt biểu thức đã cho là A. Ta có: $9^3$ chia 13 dư 1 và $5^4$ chia 13 dư 1 (may quá). Do đó: A = $9^{3k+1}-5^{4k+1}=9(13G+1)-5(13J+1)=13R+4$ chia cho 13 dư 4.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Beautifulsunrise: 08-01-2013 - 09:34
- caybutbixanh và DarkBlood thích
#132
Đã gửi 07-01-2013 - 20:55
#133
Đã gửi 18-03-2013 - 21:31
Bài 69: Giải phương trình nghiệm nguyên $5^x + 2.5^y + 5^z = 4500$ với $x<y<z$
#134
Đã gửi 18-03-2013 - 21:45
$x<y<z$ làm ta nghĩ đến việc xét khoảngHâm nóng topic nào .
Bài 69: Giải phương trình nghiệm nguyên $5^x + 2.5^y + 5^z = 4500$ với $x<y<z$
#: $z<5 \implies VT < VP$
#: $z>5 \implies VT > VP$
#: $z=5$, thay, và thử $(x;y;z)=(3;4;5)$
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#135
Đã gửi 19-03-2013 - 17:36
Tiếp cho nóng nào
Bài 70: Giải phương trình nghiệm nguyên
$x^2 + y^2 + z^2 = 807$ ( một bài dễ ~~)
#136
Đã gửi 19-03-2013 - 17:48
Tiếp cho nóng nào
Bài 70: Giải phương trình nghiệm nguyên$x^2 + y^2 + z^2 = 807$ ( một bài dễ ~~)
----------
Có $x^2 + y^2 + z^2 = 807 \equiv 3 \pmod 4\\ \implies x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 1 \pmod 4 \\ \iff 2\nmid x, y, z$
Đặt $x = 2x_1 + 1,y = 2y_1 + 1,z = 2z_1 + 1$
Phương trình tương đương
$4 x^2+4 x+4 y^2+4 y+4 z^2+4 z+3 = 807 \\ \iff {x}^{2}+x+{y}^{2}+y+{z}^{2}+z=201 \\ \iff x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)=201$
Mà $2 \mid VT \land 2 \nmid VP\implies$ vô nghiệm
Xin góp 1 bài:
Bài 71: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $a^3 + b^3 + c^3 = 2001$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 19-03-2013 - 17:51
- DarkBlood yêu thích
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#137
Đã gửi 20-03-2013 - 19:45
Ý tưởng chung của bài 71 là giới hạn miền nghiệm $a \ge b \ge c$ khi đó $3c^3 \le 2001 \Leftrightarrow c \le 8$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#138
Đã gửi 20-03-2013 - 20:25
tưởng chung của bài 71 là giới hạn miền nghiệm $a \ge b \ge c$ khi đó $3c^3 \le 2001 \Leftrightarrow c \le 8$.
Anh đã thử và cảm nhận: a long story
Giới hạn như vậy: 8 trường hợp của c, mỗi trường hợp của c lại có vài trường hợp của a, b $\implies$ khá dài (cần kết hợp đồng dư, lời giải sẽ dễ chịu hơn)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 20-03-2013 - 20:27
- phatthemkem yêu thích
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#139
Đã gửi 20-03-2013 - 20:44
Vậy thì em sẽ thêm tính chất $a^3 \equiv 0,1,8 \pmod{9}$ nữa
Nếu cả ba số $a^3,b^3,c^3$ đều chia $9$ dư $1$ thì giới hạn như trên để tìm $c$.
Nếu ba số $a^3,b^3,c^3$ có nhiều nhất hai số chia $9$ dư $1$ thì mâu thuẫn với phương trình vì $2001 \equiv 3 \pmod{9}$.
- Yagami Raito, BlackSelena và DarkBlood thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#140
Đã gửi 13-04-2013 - 21:44
Cho x=$\underset{2011 c/s 1}{11...1}$
y=$1 \underset{2010 c/s 0}{00...0}5$
CMR $\sqrt{xy+1}$ là số tự nhiên
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh