Chủ đề này có 1 trả lời

[DBSK]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$
Tìm min của:
$P=\sum \frac{1}{ab+2c^2+2c}$

[Tham Lang]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$
Tìm min của:
$P=\sum \frac{1}{ab+2c^2+2c}$

Lời giải :
Ta có :
$$ab+2c^2+2c\le \dfrac{(c-1)^2}{4}+2c^2+2c=\dfrac{9c^2+6c+1}{4}=\dfrac{(3c+1)^2}{4}$$
Kết hợp AM-GM, suy ra :
$$P \ge 4\left [\dfrac{1}{(3c+1)^2}+\dfrac{1}{(3b+1)^2}+\dfrac{1}{(3a+1)^2}\right ] \ge \dfrac{12}{\sqrt[3]{(3a+1)^2(3b+1)^2(3c+1)^2}}$$
$$\ge \dfrac{108}{(3a+1+3b+1+3c+1)^2}=\dfrac{108}{6^2}=3$$
Vậy : GTNN của P là 3 khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$