6 replies to this topic

[Ispectorgadget]

Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh $$\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}\ge \frac{3}{2}$$

[no matter what]

,mình xin hỏi lại đề là $\sum \frac{a^2}{b^2+1}$ hay $\sum \frac{a}{b^2+1}$???
----

Spoiler

Tks ^^

Edited by no matter what, 19-08-2012 - 13:09.

[Ispectorgadget]

,mình xin hỏi lại đề là $\sum \frac{a^2}{b^2+1}$ hay $\sum \frac{a}{b^2+1}$???
----

Spoiler

Tks ^^

ngược dấu rồi

Đề như trên của mình đúng rồi bài này là đề thi HSG TPHCM 2007

[tim1nuathatlac]

Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh $$\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}\ge \frac{3}{2}$$

ta có $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+1}=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}b^{2}+a^{2}}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{\sum a^{2}+\sum a^{2}b^{2}}$
$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum a^{2}$
ta có theo Am-gM $\sum a^{4}\geq \sum a^{2}b^{2}$, suy ra $2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum a^{2}+2\sum a^{2}b^{2}=\left ( \sum a^{2} \right )^{2}\geq 3\left ( \sum a^{2} \right )$
ta có đpcm

Edited by tim1nuathatlac, 19-08-2012 - 13:29.

[dark templar]

ta có $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+1}=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}b^{2}+a^{2}}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{\sum a^{2}+\sum a^{2}b^{2}}$
$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum a^{2}$
đến đây thì bạn tự làm tiếp

Đề nghị bạn làm rõ ra nhé,nên giải hoàn chỉnh cho các bạn khác theo dõi.Thân.

[tim1nuathatlac]

Đề nghị bạn làm rõ ra nhé,nên giải hoàn chỉnh cho các bạn khác theo dõi.Thân.

mình sửa lại rồi,

[KietLW9]

$\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}-\frac{3}{2}=\sum_{cyc}^{cyc}(a-b)^2(\frac{89}{1053}ab^3+\frac{1666}{351}ac+\frac{2177}{3159}a^2b^2+\frac{64}{351}a^2c^2+\frac{1147}{3159}a^3b+\frac{179}{1053}a^3c+\frac{23}{3159}b^3c+\frac{53} {243}abc^2+\frac{50}{243}b^4)\geqslant 0$