Chủ đề này có 3 trả lời

[banhbaocua1]

cho x,y,z>0,x+y+z=1
CMR:$\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-xz}\leq \frac{27}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhbaocua1: 20-08-2012 - 08:58

[longqnh]

cho a,b,c>0,a+b+c=1
CMR:$\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-xz}\leq \frac{27}{8}$

giả thiết và yêu cầu chẳng liên quan gì nhau vậy. Cho $a+b+c=1$ mà chứng minh có $xy,xz,yz$ là sao?

[banhbaocua1]

sr mình viết nhầm

[alex_hoang]

cho x,y,z>0,x+y+z=1
CMR:$\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-xz}\leq \frac{27}{8}$

Cách đơn giản nhất là ta cứ quy đồng nên chứng minh bình thường
Bất đẳng thức tương đương với
\[3 + 19xyz \ge 11\left( {xy + yz + zx} \right) + 27{x^2}{y^2}{z^2}\]
Theo BĐT $AM-GM$ ta có
\[1 = x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} \Rightarrow \frac{1}{{27}} \ge xyz \Rightarrow xyz \ge 27{x^2}{y^2}{z^2}\]
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
$$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc$$
Thay điều kiện $a+b+c=1$ thì ta có
$$9abc \ge 4(ab+bc+ca)-1$$
Vậy Ta sẽ chứng minh BĐT mạnh hơn là
\[3 + 2(4(xy + yz + zx) - 1) \ge 11(xy + yz + zx) \Leftrightarrow 1 \ge 3(xy+yz+zx)\]
\[ \Leftrightarrow {(x+y+z)^2} \ge 3(xy+yz+zx) \Leftrightarrow {(x-y)^2} + {(y-z)^2} + {(z-x)^2} \ge 0\]
Ta có được điều phải chứng minh
P/s:cách này phù hợp với kiến thức bậc THCS

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 20-08-2012 - 09:39