Chủ đề này có 1 trả lời

[Math Is Love]

Cho n là số nguyên dương $\geqslant 2$.
Chứng minh rằng $2^{n}-1$ không chia hết cho n

[nguyenta98]

Cho n là số nguyên dương $\geqslant 2$.
Chứng minh rằng $2^{n}-1$ không chia hết cho n

Giải như sau:
Bổ đề: $a^x-1 \vdots p, a^y-1 \vdots p$ với $x$ min thì $y \vdots x$
Cái này khá quen thuộc
Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ dễ thấy $p$ lẻ
Suy ra $2^n-1 \vdots n \vdots p$
Gọi $k$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $2^k-1 \vdots p$
Khi đó theo bổ đề suy ra $n \vdots k$
Mặt khác theo định lý Fermat nhỏ suy ra $2^{p-1}-1 \vdots p$
Theo bổ đề trên suy ra $p-1 \vdots k$
Như vậy $n \vdots k,p-1 \vdots k$ nên có 2TH
TH1: $k=1 \Rightarrow 2-1 \vdots p \Rightarrow False!$
TH2: $k\geq 2$ ta có $k \vdots r, r \in \mathbb{P}$
Như vậy $k \vdots r \Rightarrow p-1 \vdots r \Rightarrow p-1 \geq r \Rightarrow p>r$
Mặt khác $n \vdots k \vdots r$ suy ra $r$ là ước nguyên tố của $n$ mà $r<p$ mâu thuẫn với điều đã giả sử là $p$ nhỏ nhất
Suy ra $đpcm$