Chủ đề này có 1 trả lời

[DBSK]

Cho ba số thực khác nhau đôi một $a_1,a_2;a_3$. Ta xác định ba số thực $b_1;b_2:b_3 $ như sau:
$b_1=(1+\frac{a_1a_2}{a_1-a_2})(1+\frac{a_1a_3}{a_1-a_3})$
$b_2=(1+\frac{a_1a_2}{a_2-a_1})(1+\frac{a_2a_3}{a_2-a_3})$
$b_3=(1+\frac{a_2a_3}{a_3-a_2})(1+\frac{a_1a_3}{a_3-a_1})$
Chứng minh rằng:
$1+|a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3| \le (1+|a_1|)(1+|a_2|)(1+|a_3|)$

[Tham Lang]

Cho ba số thực khác nhau đôi một $a_1,a_2;a_3$. Ta xác định ba số thực $b_1;b_2:b_3 $ như sau:
$b_1=(1+\frac{a_1a_2}{a_1-a_2})(1+\frac{a_1a_3}{a_1-a_3})$
$b_2=(1+\frac{a_1a_2}{a_2-a_1})(1+\frac{a_2a_3}{a_2-a_3})$
$b_3=(1+\frac{a_2a_3}{a_3-a_2})(1+\frac{a_1a_3}{a_3-a_1})$
Chứng minh rằng:
$1+|a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3| \le (1+|a_1|)(1+|a_2|)(1+|a_3|)$

Lời giải :
$$b_1=\left (1+\frac{a_1a_2}{a_1-a_2}\right )\left (1+\frac{a_1a_3}{a_1-a_3}\right )=1+\dfrac{a_1a_2}{a_1-a_2}+\dfrac{a_1a_3}{a_1-a_3}+\dfrac{a_1^2a_2a_3}{\left (a_1-a_2\right )\left (a_1-a_3\right )}$$
Lúc đó :
$$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=\left (a_1+a_2+a_3\right )+ a_1a_2a_3\sum\left [ \dfrac{a_1^2}{\left (a_1-a_2\right )\left (a_1-a_3\right )}\right ] +\sum \left [a_1^2 \left (\dfrac{a_2}{a_1-a_2}+\dfrac{a_3}{a_1-a_3}\right )\right ]$$
Bằng biến đổi, ta có :

• $a_1a_2a_3\sum\left [ \dfrac{a_1^2}{\left (a_1-a_2\right )\left (a_1-a_3\right )}\right ] =a_1a_2a_3$
  
• $\sum \left [a_1^2 \left (\dfrac{a_2}{a_1-a_2}+\dfrac{a_3}{a_1-a_3}\right )\right ] =\sum \left [\dfrac{a_1a_2}{a_1-a_2}(a_1-a_2)\right ] = \sum a_1a_2$

Do đó :
$$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 = a_1+a_2+a_3+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1+ a_1a_2a_3$$
Lại có :
$$\left (1+\left |a_1\right |\right )\left (1+\left |a_2\right |\right )\left (1+\left |a_3\right |\right )=1+\left |a_1\right |+\left |a_2\right |+\left |a_3\right |+\left |a_1a_2\right |+\left |a_2a_3\right |+\left |a_3a_1\right |+\left |a_1a_2a_3\right |$$
$$\ge 1+\left |a_1+a_2+a_3+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1+a_1a_2a_3\right |$$
BĐT đã được chứng minh.