Chủ đề này có 1 trả lời

[DBSK]

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
\sum x^2(y+z)=6\\
\sum xy(1+2xy)=9\\
x^2+y^2+z^2=3
\end{matrix}\right.$

[zipienie]

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
\sum x^2(y+z)=6\\
\sum xy(1+2xy)=9\\
x^2+y^2+z^2=3
\end{matrix}\right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta thêm vào hai vế một lượng $3xyz$ khi đó ta phương trình này trở thành $$(x+y+z)(xy+yz+zx)=6+3xyz$$ phương trình thứ hai của hệ được biến đổi thành $$2(xy+yz+zx)^2-4xyz(x+y+z)+(xy+yz+zx)=9$$ phương trình thứ ba của hệ được biến đổi thành $$(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=3$$ Đặt $a=x+y+z$, $b=xy+yz+zx$ và $c=xyz$ khi đó ta có hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}
ab=6+3c\\
2b^2-4ac+b=9\\
a^2-2b=3
\end{matrix}\right.$
Hệ trên giải bằng phương pháp thế và ta rút được ẩn $a$ và được phương trình $a^4+3a^2-48a+36=0$ phương trình này có nghiệm $a=3$ và $a=-1-\frac{3}{\sqrt[3]{11+2\sqrt{37}}}+\sqrt[3]{11+2\sqrt{37}}$
Trường hợp $a=3$ thế ngược lại hệ ta có $b=3$ và $c=1$ ,áp dụng định lý VIET thì $x,y,z$ là nghiệm của phương trình $$t^3-3t^2+3t-1=0$$ từ đây suy ra $x=y=z=1$
Trường hợp còn lại làm tương tự nhưng vì nghiệm quá lẻ nên mình không tiện nghi ra đây.