Chủ đề này có 23 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 24/08/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 1 có 25 toán thủ tham gia nên sau trận này, 03 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

[L Lawliet]

Đề trận 1: Chia tập $\left \{ 1;2;3;...;2012 \right \}$ thành $2$ tập không giao nhau: $\left \{a_1;a_2;a_3;...;a_{1006} \right \}$ và $\left \{b_1;b_2;b_3;...;b_{1006} \right \}$. Biết rằng với $i \in \mathbb{N}; 1\le i\le 1006$ thì $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $1$ hoặc $6$. Tìm chữ số tận cùng của $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|.$

-MSS09 daovuquang-

(Toán thủ daovuquang không phải làm bài)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-08-2012 - 19:55

[lth080998]

Đề trận 1: Chia tập $\left \{ 1;2;3;...;2012 \right \}$ thành $2$ tập không giao nhau: $\left \{a_1;a_2;a_3;...;a_{1006} \right \}$ và $\left \{b_1;b_2;b_3;...;b_{1006} \right \}$. Biết rằng với $i \in \mathbb{N}; 1\le i\le 1006$ thì $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $1$ hoặc $6$. Tìm chữ số tận cùng của $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|.$

-MSS09 daovuquang-

(Toán thủ daovuquang không phải làm bài)

Gọi A=$\left | a_{1} -b_{1}\right |+\left | a_{2} -b_{2}\right |+...+\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$
Ta có A gồm 1006 đơn thức cộng lại với nhau

Ta có 3 trường hợp:
TH1:tất cả các cặp $\left | a_{i} -b_{i}\right |$ tận cùng bằng 1$\Rightarrow A$có chữ số tận cùng là 6(vi có 1006 cặp số)(1)
TH2:tất cả các cặp $\left | a_{i} -b_{i}\right |$ tận cùng bằng 6 $\Rightarrow A$ có chữ số tận cùng là 6(vì có 1006 cặp số)(2)
TH3:có n cặp $\left | a_{i} -b_{i}\right |$ tận cùng là 1(n$\epsilon \mathbb{N}^{*}$)$\Rightarrow$ có (1006-n) cặp tận cùng là số 6 . Vì chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng cặp $\left | a_{i} -b_{i}\right |$ là ra chữ số tận cùng của A nên chữ số tận cùng của A =n$\times 1+(1006-n)\times 6=n+1006\times 6-6n=6036-5n$
_Nếu n là số lẻ$\Rightarrow$5n tận cùng là số 5,vậy A tận cùng là số 1(3)
_Nếu n là số chẵn$\Rightarrow$5n tận cùng là số 0,vậy A tận cùng là số 6(4)


(1)(2)(3)(4)$\Rightarrow$A có chữ số tận cùng là 1 và 6.
----
Chưa biện luận để loại được trường hợp chữ số tận cùng bằng $1$.
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 20-19 \right )+3.8+0+0=71$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 19:27

[LuongDucTuanDat]

Ta có:
Gọi x là số lượng số cặp $|a_i-b_i|$ có tận cùng là $6 (1)$ ($i \in \mathbb{N}; 1\le i\le 1006$)

$\Rightarrow 1006-x$ là số lượng số cặp $|a_i-b_i|$ có tận cùng là $1(2)$ ($i \in \mathbb{N}; 1\le i\le 1006$)

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|$ sẽ có chữ số tận cùng là $6x+ 1006-x = 5x+1006$
Ta thấy: $5x$ có tận cùng là $0$ hoặc $5$ suy ra $5x+1006$ có tận cùng là $1$ hoặc $6$

$\Rightarrow |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|$ có chữ số tận cùng là $1$ hoặc $6$




Giả sử $a_i>b_i$ với mọi $i \in \mathbb{N}; 1\le i\le 1006$

Đặt $a_1+a_2+...+a_{1006}=S_1$
$b_1+b_2+...+b_{1006}=S_2$
$\Rightarrow S_1+S_2=\frac{(1+2012)2012}{2}$
$\Rightarrow S_1+S_2$ chẵn

Lại thấy: $S_1-S_2=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|$
$S_1=\frac{(S_1+S_2)(S_1-S_2)}{2} $
$+ $Nếu $S_1-S_2$ có chữ số tận cùng là $1$ thì $\frac{(S_1+S_2)(S_1-S_2)}{2} $ không là số nguyên $\Rightarrow S_1$ không nguyên (Loại)
Vậy $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|$ có chữ số tận cùng là $6$
----
Đoạn bôi đỏ: Nếu $S_1-S_2$ tận cùng là $1$ (tức là số lẻ) thì $S_1-S_2$ không chia hết cho $2$ nhưng $S_1+S_2$ là số chẵn mà? Nên nó chia hết cho $2$ chứ?
Đúng được một đáp án và chưa loại được trường hợp.
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 20-19 \right )+3.8+0+0=71$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 20:10

[Tru09]

Đề trận 1: Chia tập $\left \{ 1;2;3;...;2012 \right \}$ thành $2$ tập không giao nhau: $\left \{a_1;a_2;a_3;...;a_{1006} \right \}$ và $\left \{b_1;b_2;b_3;...;b_{1006} \right \}$. Biết rằng với $i \in \mathbb{N}; 1\le i\le 1006$ thì $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $1$ hoặc $6$. Tìm chữ số tận cùng của $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|.$

-MSS09 daovuquang-

(Toán thủ daovuquang không phải làm bài)

Bài làm của Tru09:
~@ :Bổ đề phụ 1 :
$|a|$ cùng tính chẵn lẻ với $a$
Chứng minh :$|a| =-a$ hoặc $ a$
Nếu $|a| =a$ , $\Rightarrow a$ lẻ thì $|a|$ lẻ ,a chẵn thì $|a|$ chẵn :$\text{Nên cùng tính chẵn lẻ}$
Nếu $|a| =-a$,
Vì $a$ và $-a$ cùng tính chẵn lẻ nên $|a|$ và $-a$ cũng cùng tính chẵn lẻ
Vậy bổ đề hoàn toàn được chứng minh.
~@ :Bổ đề phụ 2 :
$m-n$ và $m+n$ cùng tính chẵn lẻ.
Chứng minh :
Nếu$ m+n :\text{Chẵn} \Rightarrow m+n-2n =m-n:\text{chẵn}$
Nếu $m+n :\text{Lẻ} \Rightarrow m+n - 2n =m-n :\text{lẻ}$ Vì :$\text{Lẻ - chẵn =lẻ}$
Vậy bổ đề hoàn toàn được chứng minh..
Dãy số :$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|.(*)$
Gọi số các số có dạng $|a_{i} -b_{i}|$ trong dãy trên có tận cùng là 6 là x
Gọi số các số có dạng $|a_{i} -b_{i}|$ trong dãy trên có tận cùng là 1 là y
Ta có :$x +y =1006 :\text{(Vì dãy chỉ có 2 loại :tận cùng 6 hoặc tận cùng 1)}$
Ta sẽ chứng minh $6.x +y.1 :\text{có tận cùng là $6$}$
Điều này $\Leftrightarrow 6x +(1006 -x) :\text{có tận cùng là $6$}$
$\Leftrightarrow 5x +1006 :\text{có tận cùng là $6$}$
$\Leftrightarrow 5x :\text{có tận cùng là $0$}$
$\Leftrightarrow x \vdots 2$
Ta sẽ chứng minh điều này bằng phương pháp phản chứng :
Nếu $x$ không chia hết cho $2 \Rightarrow y$ cũng không chia hết cho $2 :\text{Vì $x+y =1006 \vdots 2$}$
Ta coi:
Các số có dạng $|a_{i} -b_{i}|$ trong dãy trên có tận cùng là 6 là $|a'_{1} -b'_{1}| +|a'_{2} -b'_{2}| +... +|a'_{n} -b'_{n}| =(1)$
Các số có dạng $|a_{i} -b_{i}|$ trong dãy trên có tận cùng là 1 là $|a''_{1} -b''_{1}| +|a''_{2} -b''_{2}| +... +|a''_{n} -b''_{n}| =(2)$
Vậy nên $ |a'_{1} -b'_{1}| +|a'_{2} -b'_{2}| +... +|a'_{n} -b'_{n}| +|a''_{1} -b''_{1}| +|a''_{2} -b''_{2}| +... +|a''_{n} -b''_{n}|$=$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|.:(3)$
Áp dụng bổ đề 1 cho $(1)$ và $(2)$ và $(*)$:
$\Rightarrow a'_{1} +a'_{2} +...+a'_{n} -b'_{1} -b'_{2} -..-b'_{n} :\text{cùng tính chẵn lẻ với}$ $|a'_{1} -b'_{1}| +|a'_{2} -b'_{2}| +... +|a'_{n} -b'_{n}| $
$\Rightarrow a''_{1} +a''_{2} +...+a''_{n} -b''_{1} -b''_{2} -..-b''_{n} :\text{cùng tính chẵn lẻ với}$ $|a''_{1} -b''_{1}| +|a''_{2} -b''_{2}| +... +|a''_{n} -b''_{n}| $
$\Rightarrow |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}| :\text{cùng tính chẵn lẻ với}$ $a_{1} +a_{2} +...+a_{1006} -b_{1} -b_{2} -...-b_{1006}$
Ta thấy với $y$ không chia hết cho $2 \Rightarrow y :\text{ lẻ} \Rightarrow :\text{tông các chữ số tận cùng của $(2)$ =y là số lẻ}$
$\Rightarrow (2) :\text{lẻ}$
Mà $(2) :\text{lẻ} \Rightarrow a''_{1} +a''_{2} +...+a''_{n} -b''_{1} -b''_{2} -..-b''_{n} :\text{lẻ}$
Đặt $a_{1} +a_{2} +...+a_{1006} -b_{1} -b_{2} -...-b_{1006}$ =(4)
Áp dụng bổ đề 2 vào $(4)$
$\Rightarrow a_{1} +a_{2} +...+a_{1006} -b_{1} -b_{2} -...-b_{1006} :\text{cùng tính chẵn lẻ với}:
a_{1} +a_{2} +...+a_{1006} +b_{1} +b_{2} +...+b_{1006} =2012 :\text{chẵn}$
Vậy $(4) :\text{chẵn}$
Mà $(4) :\text{chẵn}$
$\Rightarrow |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}| :\text{chẵn}$
Mà (1) +(2) =(3)
Với $(3) :\text{chẵn} ; (2) :\text{lẻ} \Rightarrow (1) :\text{lẻ}$
Nhưng mà chữ số tận cùng của $(1)$ là số chẵn vì $x.6 :\text{chẵn}$
$\Rightarrow (1) :\text{chẵn}$
$\Rightarrow :\text{Mâu thuẫn}$
Vậy $x \vdots 2$
Vậy $\Rightarrow :\text{chữ số tận cùng của dãy là 6}$
Bài toán hoàn toàn được giải quyết !!!
----
Trình bày hơi lủng củng, làm người đọc dễ nhầm và rối.
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 22-19 \right )+3.9+0+0=72$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 20:00

[BlackSelena]

Bài làm của MSS01- BlackSelena:

* Trước hết, ta chứng minh $(a-b) và (a+b)$ luôn cùng tính chẵn lẻ
Ta có $(a-b) + (a+b) = 2a$ luôn chẵn. (.)
Vậy ta có đpcm.
Gọi tập ${1;2;3 ... ; 2012}$ là I, tập $\begin{Bmatrix} a_1; a_2; a_3; a_4 .. a_{1006}\end{Bmatrix}$ là A, tập $\begin{Bmatrix} b_1; b_2; b_3; b_4 .. b_{1006} \end{Bmatrix}$ là B
Giả sử tồn tại trong tập $A$ 2 phần tử $a_i = a_k$.
Khi đó tập $I$ sẽ còn ít nhất 1007 phần tử không bằng nhau. Trái với giả thiết $B$ có 1006 phần tử.
Vậy không tồn tại trong tập $A$ 2 phần tử $a_i = a_k$.
Tương tự với tập hợp $B$, sẽ cũng không đồng thời có 2 phần tử $b_j = b_m$

Vậy $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... a_{1006} + b_1 + b_2 + ... b_{1006} = 2013.1006$ (luôn chẵn).
Theo giả thiết, $a_i - b_j$ tận cùng là 1 hoặc 6 nên $a_i - b_j \equiv 1 \pmod{5}$
Mà áp dụng bổ đề (.), ta có :
$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}| \equiv a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... a_{1006} + b_1 + b_2 + ... b_{1006} \pmod 2$
Mà ở trên ta đã chứng minh $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... a_{1006} + b_1 + b_2 + ... b_{1006}$ chẵn.
$\Rightarrow |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|$ chẵn.
Mà $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}| \equiv 1 \pmod{5}$
$\Rightarrow |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|$ có tận cùng là 6.
----
MR bị nhầm một đoạn chẵn - lẻ, lời giải đúng.
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 22-19 \right )+3.10+9+0=88$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 20:43

[caybutbixanh]

đáp số : tận cùng bằng 6
giải :
theo giả thiết : $\left | a_{i}-b_{i}\right |$ tận cùng bằng 1
=> $\left | a_{i}-b_{i}\right |$ $\equiv$ 1 (mod 10)
ta có :$\left | a_{1}-b_{1}\right |$ $\equiv$ 1 (mod 10)
$\left | a_{2}-b_{2}\right |$ $\equiv$ 1 (mod 10)
...........
$\left | a_{1006}-b_{1006}\right |$ $\equiv$ 1 (mod 10)
cộng lại ta được : $\left | a_{1}-b_{1}\right |$ +$\left | a_{2}-b_{2}\right |$ +....+ $\left | a_{1006}-b_{1006}\right |$ $\equiv$ 1006 (mod 10) $\equiv$ 6(mod 10 )
=> chữ số tận cùng là 6 (1)
theo giả thiết :$\left | a_{i}-b_{i}\right |$ tận cùng bằng 6
=>$\left | a_{i}-b_{i}\right |$ $\equiv$ 6 (mod 10)
$\left | a_{1}-b_{1}\right |$ $\equiv$ 6 (mod 10)
$\left | a_{2}-b_{2}\right |$ $\equiv$ 6 (mod 10)
...........
$\left | a_{1006}-b_{1006}\right |$ $\equiv$ 6 (mod 10)
cộng lại ta được : $\left | a_{1}-b_{1}\right |$ +$\left | a_{2}-b_{2}\right |$ +....+ $\left | a_{1006}-b_{1006}\right |$ $\equiv$ 6036 (mod 10)$\equiv$ 6 (mod 10)
=>chữ số tận cùng là 6 (2)
vậy từ (1) và (2) suy ra : chữ số tận cùng cần tìm là 6
----
Em chưa xét trường hợp có $x$ số hạng có tận cùng là $1$ và $1006-x$ số hạng có tận cùng là $6$.
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 40-19 \right )+3.8+0+0=51$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 20:24

[minhhieukaka]

không mất tính tổng quát của đề bài. Giả sử tập hợp A=$\left \{ a_{1};a_{2};a_{3}...;a_{1006} \right \}$ có mọi hạng tử trong tập hợp đều lớn hơn mọi hạng tử của tập hợp B=$\left \{ b_{1};b_{2};...;b_{1006} \right \}$ mà $\left | a_{i}-b_{i} \right |$ tận cùng là 1 hoặc 6 nên xảy ra hai trường hợp:
$a_{i}=b_{i}+1 hoặc a_{i}= b_{i}+6$
tìm dư $a_{1}+a_{2}+....+a_{1006}-b_{1}-b_{2}-...-b_{1006}$ chia 10
Vì $a_{i}=b_{i}+1 hoặc a_{i}= b_{i}+6$ =>$a_{1}+a_{2}+....+a_{1006}-b_{1}-b_{2}-...-b_{1006}$ chia 10 dư 6
Vậy biểu thức tận cùng là 6
----
Đoạn bôi đỏ lập luận chưa chặt chẽ cho lắm nhưng cách giải khá hay!
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 37-19 \right )+3.9+0+0=57$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 20:33

[thanhluong]

Đặt
$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|=A$.

Theo giả thiết, với số tự nhiên $i$, $1\leq i \leq 1006$ thì $|a_i-b_i|$ có tận cùng là $6$ hoặc $1$

Nên ta đặt $|a_i-b_i|=5n_i+1$ (với $n_i$ là số tự nhiên)

Thay $|a_i-b_i|=5n_i+1$ với $i=1, 2, 3,...,1006$ vào $A$, ta có:

$A=5n_1+1+5n_2+1+...+5n_{1006}+1$

$=5(n_1+n_2+n_3+...+n_{1006}) + 1006$

$\Rightarrow A=5(n_1+n_2+n_3+...+n_{1006}) + 10^3 + 6$ (1)

Giả sử có trong hai tập {$a_1, a_2, a_3,...a_{1006}$} và {$b_1, b_2, b_3,...b_{1006}$} có $2u+1$ ($u$ là số tự nhiên) cặp $(a_i, b_i)$ sao cho $|a_i-b_i|=5n_i+1$ ($n_i$ là số lẻ), tức là $|a_i-b_i|$ có chữ số tận cùng là $1$.

Suy ra $a_i-b_i=5k_i+1$ (với $k_i$ là số nguyên chia hết cho $2$).

Từ đó ta có $b_i=a_i-5k_i-1 \Rightarrow a_i+b_i=2a_i-5k_i-1$, nên $a_i+b_i$ không chia hết cho $2$.

Do đó tổng của các số $a_i$, $b_i$ (sao cho $|a_i-b_i|$ có chữ số tận cùng là $1$) cũng là một số không chia hết cho $2$.

Mặt khác, tổng các số $a_i$, $b_i$ còn lại trong $2$ tập trên đều chia hết cho $2$.

Suy ra:
$a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_i+b_i+...+a_{1006}+b_{1006}$ cũng không chia hết cho $2$.

Hay $1+2+3+...+2012$ không chia hết cho

$2$ (Vô lý vì $1+2+3+...+2012=\frac{2012 \cdot 2013}{2}=1006 \cdot 2013$ $\vdots$ $2$)

Từ mâu thuẫn trên ta thấy rằng số cặp $(a_i, b_i)$, để $|a_i-b_i|$ có tận cùng là $1$, không phải là số lẻ. Vì vậy tổng các giá trị $|a_i-b_i|$ trên phải là số chẵn.

Nên $n_1+n_2+n_3+...+n_{1006}$ phải là số chẵn, ta đặt $n_1+n_2+n_3+...+n_{1006} = 2v$ ($v$ là số tự nhiên).

$\Rightarrow 5(n_1+n_2+n_3+...+n_{1006})=10v$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$A = 10v+10^3+6$ (với $v$ là số tự nhiên).

Vậy: Biểu thức $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+|a_3-b_3|+...+|a_{1006}-b_{1006}|$ có chữ số tận cùng là $6$.
----
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 27-19 \right )+3.9+0+0=67$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 20:49

[reddevil1998]

Em xin gửi lời giải bài này:
Gọi $k$ là số cặp $(a_{i},b_{i})$ sao cho $|a_{i}-b_{i}|=6$.Khi đó,
$|a_{1}-b_{1}|+|a_{2}-b_{2}|+...+|a_{1006}-b_{1006}|=6k+(1006-k)=1006-5k$
Do đó ,chỉ cần CM $k$ là một số chẵn.
Đặt $k=k_{1}+k_{2}$ ,trong đó $k_{1}$ là số các cặp $(a_{i},b_{i})$ sao cho $|a_{i}-b_{i}|=6$ và cả $a_{i},b_{i}$ đều là các số lẻ ,$k_{2}$ là số cặp$(a_{i},b_{i})$ sao cho $|a_{i}-b_{i}|=6$ và $a_{i},b_{i}$ đều là các số chẵn .Vì các số lẻ và các số chẵn trong tập hợp $(1,2,...,2012)$ là bằng nhau và trong mỗi cặp $(a_{i},b_{i})$ với $|a_{i}-b_{i}|=1$ đều có 1 số chẵn và 1 số lẻ nên$k_{1}=k_{2}$ .Từ đó suy ra $k=k_{1}+k_{2}$ là 1 số chẵn ,nên chữ số tận cùng của tổng trên là 9.
----
Trình bày và lập luận đúng nhưng bước cuối cùng lại sơ xuất dẫn đến sai kết quả và sai đáp án MR.
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 40-19 \right )+3.9+9+0=60$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 20:47

[reddevil1998]

Mở rộng bài toán:Chia tập $(1,2,...,n)$ ,$n$ chẵn thành 2 tập không giao nhau:$(a_{1},a_{2},...,a_{\frac{n}{2}})$ và $(b_{1},b_{2},...,b_{\frac{n}{2}})$ .Biết rằng với $i\epsilon N$ ;$1\leq i\leq \frac{n}{2}$ thì $|a_{i}-b_{i}|$ tận cùng bằng $1$ hoặc $6$ .Khi đó chữ số tận cùng của $|a_{1}-b_{i}|+|a_{2}-b_{2}|+...+|a_{\frac{n}{2}}-b_{\frac{n}{2}}|$ là $9$

[chrome98]

Giải:
Gọi số các số dạng $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $6$ và $1$ lần lượt là $k$ và $1006-k$ ($1006\geq i\in \mathbb{Z^{+}}$, $k,1006-k\in \mathbb{N}$). Đặt biểu thức đề bài cho là $\mathcal{A}$.
Ta có: $\mathcal{A}$ tận cùng giống với $6k+1(1006-k)=5k+1006$

$+$ $\mathcal{A}$ tận cùng bằng $6$ nếu có số chẵn các số dạng $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $6$
Ví dụ như hai tập hợp sau: $(1,3,5,...,2011),(2,4,6,...,2012)$

$+$ $\mathcal{A}$ tận cùng bằng $1$ nếu có số lẻ các số dạng $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $1$. Khi đó có $2(2k+1), k\in \mathbb{N}$ các số khác tính chẵn lẻ (theo cặp, số số chẵn bằng số số lẻ) và còn lại tập hợp $1006-(2k+1)$ số lẻ cùng tập hợp $1006-(2k+1)$ số chẵn để tạo thành số $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $6$.
Hai số $a_i,b_i$ thoả mãn $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $6$ phải cùng tính chẵn lẻ, do đó khi ta ghép cặp các tập hợp $1006-(2k+1)$ số chẵn hay lẻ đều bị thừa ra một số mỗi bộ, cho hai số đó là $a_m,a_n$. Khi đó $|a_m-a_n|$ lẻ và do đó $\mathcal{A}$ chẵn, mâu thuẫn.

Vậy $\mathcal{A}$ tận cùng bằng $6$.

Mở rộng:

Chia tập $\mathcal{S}=1;2;3;...;4n$, $n\in \mathbb{Z^{+}}$ thành $2$ tập không giao nhau $\mathcal{S_1}=a_1;a_2;...;a_{2n}$ và $\mathcal{S_2}=b_1;b_2;...;b_{2n}$. Biết rằng với $2n\geq i\in \mathbb{Z^{+}}$ thì $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $n$ hoặc $n+5$, ($4\geq n\in \mathbb{Z^{+}}$). Tìm chữ số tận cùng của: $\sum_{i=1}^{2n} |a_i-b_i|$.

----
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 44-19 \right )+3.10+6+0=63$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 20:42

[mathnam]

Trường hợp 1:$\left | a \right |$$\left | a_{i}-b_{i}\right |có chữ số tận cùng là 1$

hay $\left | a_{1}-b_{1} \right |,\left | a_{2}-b_{2} \right |,\left | a_{3}-b_{3} \right |,...,\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$ đều là các số có chữ số tận cùng là 1
Và ta có 1006 cặp các số có chữ số tận cùng là 1 trong biểu thức:$\left | a_{1}-b_{1} \right |+\left | a_{2}-b_{2} \right |+\left | a_{3}-b_{3} \right |+...+\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$
vậy:$\left | a_{1}-b_{1} \right |+\left | a_{2}-b_{2} \right |+\left | a_{3}-b_{3} \right |+...+\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$=$\overline{x_{1}x_{2}...1}$*1006
vì $\overline{x_{1}x_{2}...1}$ có chữ số tận cùng bằng 1 và 1006 có chữ số tận cùng bằng 6
$\Rightarrow$ $\overline{x_{1}x_{2}...1}$*1006 có chữ số tận cùng bằng 6
$\Leftrightarrow$ $\left | a_{1}-b_{1} \right |+\left | a_{2}-b_{2} \right |+\left | a_{3}-b_{3} \right |+...+\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$ có chữ số tận cùng là 6
Trường hợp 2: $\left | a \right |$$\left | a_{i}-b_{i}\right |có chữ số tận cùng là 6$
hay $\left | a_{1}-b_{1} \right |,\left | a_{2}-b_{2} \right |,\left | a_{3}-b_{3} \right |,...,\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$ đều là các số có chữ số tận cùng là 6
Và ta có 1006 cặp các số có chữ số tận cùng là 6 trong biểu thức:$\left | a_{1}-b_{1} \right |+\left | a_{2}-b_{2} \right |+\left | a_{3}-b_{3} \right |+...+\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$
vậy:$\left | a_{1}-b_{1} \right |+\left | a_{2}-b_{2} \right |+\left | a_{3}-b_{3} \right |+...+\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$=$\overline{y_{1}y_{2}...6}$*1006
vì $\overline{y_{1}y_{2}...6}$ có chữ số tận cùng bằng 6 và 1006 cũng có chữ số tận cùng là 6
$\Rightarrow$ $\overline{y_{1}y_{2}...6}$*1006 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tích 6*6laf 36
vậy nên $\overline{y_{1}y_{2}...6}$*1006 có chữ số tận cùng là 6
$\Leftrightarrow$ $\left | a_{1}-b_{1} \right |+\left | a_{2}-b_{2} \right |+\left | a_{3}-b_{3} \right |+...+\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$ có chữ số tận cùng là 6

Vậy:$\left | a_{1}-b_{1} \right |+\left | a_{2}-b_{2} \right |+\left | a_{3}-b_{3} \right |+...+\left | a_{1006}-b_{1006} \right |$ có chữ số tận cùng là 6
-----
Xét thiếu trường hợp như một số bạn trên.
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 51-19 \right )+3.8+0+0=40$$S=48-\left ( 51-19 \right )+3.8+0+0=40$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 20:52

[mathnam]

tai sao em nop bai ma he thong thong bao :Bài viết của bạn đòi hỏi người điều hành phê duyệt trước khi nó sẽ được hiển thị trên trang web.

[mathnam]

Đề trận 1: Chia tập $\left \{ 1;2;3;...;2012 \right \}$ thành $2$ tập không giao nhau: $\left \{a_1;a_2;a_3;...;a_{1006} \right \}$ và $\left \{b_1;b_2;b_3;...;b_{1006} \right \}$. Biết rằng với $i \in \mathbb{N}; 1\le i\le 1006$ thì $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng $1$ hoặc $6$. Tìm chữ số tận cùng của $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|.$

-MSS09 daovuquang-

(Toán thủ daovuquang không phải làm bài)

[BlackSelena]

Mở rộng 1 của BlackSelena:
Không dừng lại ở số 2012 (số năm nay ), ta mở rộng lên $2(5n+1)$ số ( $n \equiv 0 \pmod{2}$)
Vậy ta cần tìm chữ số tận cùng của $|a_1 - b_1| ... |a_{5n+1} - b_{5n+1}|$
$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... a_{2(5n+1)} + b_1 + b_2 + ... b_{2(5n+1)} = [2(5n+1) +1](5n+1)$ (luôn chẵn với $n$ chẵn).
Theo giả thiết, $a_i - b_j$ tận cùng là 1 hoặc 6 nên $a_i - b_j \equiv 1 \pmod{5}$
Mà áp dụng bổ đề (.), ta có :
$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{5n+1}-b_{5n+1}| \equiv a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... a_{5n+1} + b_1 + b_2 + ... b_{5n+1} \pmod 2$
Mà ta đã chứng minh $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... a_{5n+1} + b_1 + b_2 + ... b_{5n+1}$ chẵn
$\Rightarrow |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{5n+1}-b_{5n+1}|$ chẵn.
Mà $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{5n+1}-b_{15n+1}| \equiv 1 \pmod{5}$
$\Rightarrow |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{5n+1}-b_{5n+1}|$ có tận cùng là 6.

[BlackSelena]

Em xin lỗi, MR 1 của em phải là $n$ lẻ chữ ko phải $n$ chẵn. Em viết lộn

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, các toán thủ có thể nhận xét bài làm của nhau nhưng không được tự sửa bài của mình. Toán thủ nào sửa bài làm của mình sẽ bị 0 điểm

[Beautifulsunrise]

Thứ Hai, 27 / 08 / 2012: Các toán thủ đã gửi bài làm (theo thứ tự thời gian):
1) lth080998: Đã gửi 24-08-2012 - 20:42
2) LuongDucTuanDat: Đã gửi 24-08-2012 - 21:31
3) Tru09: Đã gửi 24-08-2012 - 22:12
4) BlackSelena: Đã gửi 24-08-2012 - 22:39; MR1: Đã gửi Hôm qua, 23:04
5) duongld: Đã gửi 24-08-2012 - 22:55; MR1: Đã gửi 25-08-2012 - 11:37
6) caybutbixanh: Đã gửi 25-08-2012 - 16:36
7) minhhieukaka: Đã gửi 25-08-2012 - 18:12
8) thanhluong: Đã gửi 25-08-2012 - 22:32
9) reddevil1998: Đã gửi Hôm qua, 11:53; MR1: Đã gửi Hôm qua, 12:09
10) chrome98: Đã gửi Hôm qua, 15:48; MR1: Đã gửi Hôm qua, 15:48
11) pham anh quan: Đã gửi Hôm qua, 22:09
12) mathnam: Đã gửi Hôm qua, 22:26
-------------------------------------------------------------
Đề và đáp án của toán thủ daovuquang (Đã gửi 16-08-2012 - 18:22):
Bài toán: Chia tập $\left \{ 1;2;3;...;2012 \right \}$ thành 2 tập không giao nhau: $\left \{a_1;a_2;a_3;...;a_{1006} \right \}$ và $\left \{b_1;b_2;b_3;...;b_{1006} \right \}$. Biết rằng với $i \in \mathbb{N}; 1\le i\le 1006$ thì $|a_i-b_i|$ tận cùng bằng 1 hoặc 6. Tìm chữ số tận cùng của $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|.$
Lời giải: Gọi $S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|$ thì $S\equiv 1+1+...+1\equiv 1006\equiv 1 (mod 5) (1)$.
Mặt khác, với $x,y\in \mathbb{Z}$ ta luôn có: $|x-y|\equiv x-y \equiv x-y+2y \equiv x+y (mod 2)$.
Suy ra $S\equiv a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_{1006}+b_{1006}\equiv 1+2+3+...+2012 \equiv 1006.2013\equiv 0 (mod 2) (2)$.
Từ $(1),(2)\Rightarrow S\equiv 6 (mod 10)$ hay $S$ tận cùng bằng $6$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 27-08-2012 - 12:49

[lth080998]

cho em hỏi còn trường hợp tận cùng là 1 thì sao ạ
---------------------------------------------------------------
@binhmetric: TH đó không xảy ra vì số các số hạng có chữ số tận cùng là 1 phải là số chẵn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 27-08-2012 - 20:20