Chủ đề này có 3 trả lời

[phamvanha92]

Cho a , b , c thuộc [0 ,1]. tìm max, min:
$A = a(b-c)^{3} + b(c-a)^{3} + c(a-b)^{3}$

[DBSK]

Mình có biết đến một bài toán của tác giả Phạm Văn Thuận gần giống bài này như sau:
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ Với mỗi số tự nhiên $n$ hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cua biểu thức:
$P(a,b,c)=a(b-c)^n+b(c-a)^n+c(a-b)^n$a,b, thỏa mãna+b+. Với mỗi số tự nhiên hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

[nthoangcute]

Cho a , b , c thuộc [0 ,1]. tìm max, min:
$A = a(b-c)^{3} + b(c-a)^{3} + c(a-b)^{3}$

Đặt $f(a,b,c)=a(b-c)^{3} + b(c-a)^{3} + c(a-b)^{3}$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a = max \{a,b,c\}$
Suy ra $f(a,b,c)-f(a,b,0)=c(a-b)(a^2+ab+b^2-c^2) \geq 0$
Lại có $f(a,b,0)-f(1,b,0)=b(1-a)(a^2-b^2+a+1) \geq 0$
Suy ra $f(a,b,c) \geq f(1,b,0)=b^3-b=(b+\frac{2\sqrt{3}}{3})(b-\frac{\sqrt{3}}{3})^2-\frac{2\sqrt{3}}{9} \geq -\frac{2\sqrt{3}}{9} $
Vậy $f(a,b,c) \geq -\frac{2\sqrt{3}}{9} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 24-08-2012 - 13:07

[nthoangcute]

Cho a , b , c thuộc [0 ,1]. tìm max, min:
$A = a(b-c)^{3} + b(c-a)^{3} + c(a-b)^{3}$

Đặt $f(a,b,c)=a(b-c)^{3} + b(c-a)^{3} + c(a-b)^{3}$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a = max \{a,b,c\}$
Suy ra $f(a,b,c)-f(a,0,c)=-b(a-c)(a^2-b^2+ac+c^2) \leq 0$
Lại có $f(a,0,c)-f(1,0,c)=-c(1-a)(a^2+a+1-c^2)\leq 0$
Suy ra $f(a,b,c) \geq f(1,0,c)=c-c^3=-(c+\frac{2\sqrt{3}}{3})(c-\frac{\sqrt{3}}{3})^2+\frac{2\sqrt{3}}{9} \leq \frac{2\sqrt{3}}{9} $
Vậy $f(a,b,c) \leq \frac{2\sqrt{3}}{9} $