Chủ đề này có 13 trả lời

[minhtuyb]

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 25/08/2012

Câu I:

1) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ sao cho:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{1}{2}$$

2) Tìm các cặp nguyên dương $(x;y)$ sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$

Câu II:

1) Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2x^2}{1+x^2}=y\\ \dfrac{2y^2}{1+y^2}=z\\ \dfrac{2z^2}{1+z^2}=x\end{matrix}\right.$$

2) Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\ge 4$$

Câu III: Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. $AD$ là đường cao của $\Delta ABC$ với $D$ thuộc đoạn $BC$. Đường tròn $(\omega)$ tâm $A$ đi qua $D$ cắt $(O)$ tại $P,Q$. Gọi $PQ$ giao $AD$ tại $G$. Gọi $AO$ giao $BC$ tại $E$ và $K$ là trung điểm của $AD$.

a) Chứng minh rằng: $GE// OK$
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng $HM,GE,OD$ đồng quy

Câu IV: Có $50$ người ngồi xung quanh một bàn tròn.

a) Biết rằng trong đó có $25$ nam và $25$ nữ. Chứng minh rằng trong mọi cách sắp xếp ta luôn tìm được một người ngồi giữa hai người nữ
b) Giả sử rằng mỗi người trong họ đều có không quá $24$ người mà mình không thích (quy ước: $A$ không thích $B$ thì $B$ cũng không thích $A$). Chứng minh rằng ta có thể xếp được $50$ người này xung quanh bàn tròn mà không ai ngồi cạnh người mình không thích

----------------------HẾT----------------------

Tình hình là rất tình hình, chắc mình trượt thẳng cẳng rồi

[triethuynhmath]

Câu II:

1) Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2x^2}{1+x^2}=y\\ \dfrac{2y^2}{1+y^2}=z\\ \dfrac{2z^2}{1+z^2}=x\end{matrix}\right.$$

Chém bài dễ nhất:Từ hệ ta có: $x,y,z\geq 0$
Nếu $x=0\Rightarrow y,z=0$$\Rightarrow (0;0;0)$ là 1 nghiệm của hệ.
Với $x\neq 0\Rightarrow y,z\neq 0\Rightarrow x,y,z > 0$
Nhân Vế theo vế với nhau và triệt tiêu $xyz$ ta có:
$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=8xyz$
Đến đây dùng bất đẳng thức Cauchy thì điều này chỉ đúng khi $x=y=z=1$ Vậy hệ lại có bộ $(1;1;1)$ là nghiệm.Ta có đpcm

[triethuynhmath]

2) Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\ge 4$$

Câu này cũng không quá khó:
Áp dụng BĐT : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ ta có:
$\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+d}\geq \frac{4}{\frac{a+b+c+d}{a}}=\frac{4a}{a+b+c+d}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế ta có:
$VT\geq \frac{4(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=4(Q.E.D)$

[triethuynhmath]

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 25/08/2012

Câu I:

1) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ sao cho:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{1}{2}$$

Dứt điểm câu PTNN:
DKXĐ $x,y\neq 0$
Quy đồng lên,ta có:
$2x+2y+1=xy\Leftrightarrow x(y-2)-2(y-2)=5\Leftrightarrow (x-2)(y-2)=5$
Đến đây là PT ước số quá dễ để giải.5 còn là số nguyên tố nên khá ít trường hợp

[triethuynhmath]

Câu III: Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. $AD$ là đường cao của $\Delta ABC$ với $D$ thuộc đoạn $BC$. Đường tròn $(\omega)$ tâm $A$ đi qua $D$ cắt $(O)$ tại $P,Q$. Gọi $PQ$ giao $AD$ tại $G$. Gọi $AO$ giao $BC$ tại $E$ và $K$ là trung điểm của $AD$.

a) Chứng minh rằng: $GE// OK$
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng $HM,GE,OD$ đồng quy

Hay quá.Đi học về thấy bài hình còn y nguyên:
a) Ta có:
Cho PQ cắt AB tại N,AC tại Q.
I là điểm đối xứng của A qua O.
Ta có: A là điểm chính giữa cung PQ của (O) nên: $AD^2=AQ^2=AP^2=AN.AB=AR.AC\Rightarrow ANDR$(Chứng minh bằng tam giác đồng dạng) nên $\angle AND=\angle ARD=90^0$ $ANDR$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm K đường kính $AD$.Gọi $R'$ là bán kính ta có:
$\frac{AK}{AI}=\frac{R'}{R}$
ta có : BNRC nội tiếp $\Rightarrow \angle ANG =\angle ACE$
Ta có : $\Delta ADB$ đồng dạng $\Delta ACI(gg)\Rightarrow \angle NAG=\angle EAC$
Nên có cặp tam giác đồng dạng (gg) => $\frac{AG}{AE}=\frac{AN}{AC}=\frac{R'}{R}$(2 tam giác đồng dạng thì bán kính đường tròn ngoại tiếp = tỉ số đồng dạng) => ĐPCM $Q.E.D$

[ninhxa]

Câu I:
2) Tìm các cặp nguyên dương $(x;y)$ sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$

-Ta có:
$xy+2|x^2-2$
$\Rightarrow xy+2|\left ( x^2-2\right )y=x^2y-2y=x(xy+2)-2(x+y)$
$xy+2|2(x+y)$
$\Rightarrow 0<xy<xy+2\leq 2x+2y\leq 4x$ (ko mất tính tổng quát gs $y\leq x$)
$0< y< 4\Rightarrow y=1,2,3$
-Đến đây dễ rồi

[perfectstrong]

Bài IV:
b) Ta lấy điểm $A_i$ trên mặt phẳng tương ứng với người thứ $i$ trong nhóm đó. 2 người thích nhau thì ta nối 2 điểm đại diện cho 2 người đó bởi 1 đoạn thẳng. Xét $G$ là đồ thị biểu diễn tất cả những điểm và đoạn thẳng đã nối.
Vì mỗi người không thích nhiều nhất 24 người nên sẽ thích ít nhất 26 người. Do đó, $\deg(A_i) \ge 25,\forall i$.
Ta chứng minh $G$ liên thông. Giả sử tồn tại 2 đỉnh $A_i;A_j$ không liên thông.
Khi đó, $G$ gồm $G_1$ liên thông chứa $n_1$ đỉnh (kể cả $A_i$) và $G_2$ liên thông chứa $n_2$ đỉnh (kể cả $A_j$).
Do $G_1;G_2$ là đồ thị con của $G$ nên $n_1+n_2 \le 50$
Vì tính liên thông nên ta có $\deg (A_i)+\deg (A_j) \le n_1-1+n_2-1\le 48$.
Vô lý vì $\deg (A_i)+\deg(A_j) \ge 25+25=50$.
Vậy điều giả sử là sai, hay ta có $G$ liên thông.
Cho nên tồn tại 1 chu trình $\alpha$ đi qua tất cả các đỉnh của $G$ đúng 1 lần.
Sắp xếp những người đó theo thứ tự trong chu trình quanh bàn tròn thì yêu cầu bài toán thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-10-2012 - 22:03

[NguyThang khtn]

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 25/08/2012

Câu I:

1) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ sao cho:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{1}{2}$$

2) Tìm các cặp nguyên dương $(x;y)$ sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$

Câu II:

1) Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2x^2}{1+x^2}=y\\ \dfrac{2y^2}{1+y^2}=z\\ \dfrac{2z^2}{1+z^2}=x\end{matrix}\right.$$

2) Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\ge 4$$

Câu III: Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. $AD$ là đường cao của $\Delta ABC$ với $D$ thuộc đoạn $BC$. Đường tròn $(\omega)$ tâm $A$ đi qua $D$ cắt $(O)$ tại $P,Q$. Gọi $PQ$ giao $AD$ tại $G$. Gọi $AO$ giao $BC$ tại $E$ và $K$ là trung điểm của $AD$.

a) Chứng minh rằng: $GE// OK$
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng $HM,GE,OD$ đồng quy

Câu IV: Có $50$ người ngồi xung quanh một bàn tròn.

a) Biết rằng trong đó có $25$ nam và $25$ nữ. Chứng minh rằng trong mọi cách sắp xếp ta luôn tìm được một người ngồi giữa hai người nữ
b) Giả sử rằng mỗi người trong họ đều có không quá $24$ người mà mình không thích (quy ước: $A$ không thích $B$ thì $B$ cũng không thích $A$). Chứng minh rằng ta có thể xếp được $50$ người này xung quanh bàn tròn mà không ai ngồi cạnh người mình không thích

----------------------HẾT----------------------

Tình hình là rất tình hình, chắc mình trượt thẳng cẳng rồi

Đề này nhìn chung dễ hơn năm ngoái!
Có câu tổ hợp phần b là hơi mắc chút với các chú!
Chú có thi trượt vẫn học đội tuyển được!
Quan trọng là vào đội tuyển chú thể hiện như thế nào thôi!

[xuanha]

câu II. 1.
từ pt (1) => y$\leq$ x
pt (2) => z$\leq$ y
pt (3) => x$\leq$ z
từ 3 cái trên suy ra x=y=z.thay vào 1 pt giải ra x=y=z=1.

[minhtuyb]

Đề này nhìn chung dễ hơn năm ngoái!
Có câu tổ hợp phần b là hơi mắc chút với các chú!
Chú có thi trượt vẫn học đội tuyển được!
Quan trọng là vào đội tuyển chú thể hiện như thế nào thôi!

Hê nhưng mà em đỗ rồi anh ạ =)). Anh tiện thể làm hộ em bài hình phần b nhé

câu II. 1.
từ pt (1) => y$\leq$ x
pt (2) => z$\leq$ y
pt (3) => x$\leq$ z
từ 3 cái trên suy ra x=y=z.thay vào 1 pt giải ra x=y=z=1.

Làm thế này nếu chấm chặt thì chả được điểm nào bạn à z_z.

[xuanha]

Hê nhưng mà em đỗ rồi anh ạ =)). Anh tiện thể làm hộ em bài hình phần b nhé

Làm thế này nếu chấm chặt thì chả được điểm nào bạn à z_z.

uk.đó mình chỉ gợi ý ra thế thôi. người đọc phải biết trình bày chứ. nói rõ áp dụng bđt AM-GM,...

[minhtuyb]

uk.đó mình chỉ gợi ý ra thế thôi. người đọc phải biết trình bày chứ. nói rõ áp dụng bđt AM-GM,...

Ý mình là bạn chết ở đoạn này:
Mình hiểu là bạn sẽ áp dụng $\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le \dfrac{2x^2}{2x}=x
(*)$.
Vô hình chung bạn đã tự loại bỏ nghiệm $(0;0;0)$ của hệ do ĐKXĐ của 2 phân thức không giống nhau.
Kể cả khi bạn thay $x=y=z$ vào thì hệ có nghiệm $(1;1;1);(0;0;0)$ nhưng chính nghiệm $(0;0;0)$ lại không thoả mãn $(*)$ .
Mình diễn đạt hơi kém, mong bạn hiểu

[xuanha]

Ý mình là bạn chết ở đoạn này:
Mình hiểu là bạn sẽ áp dụng $\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le \dfrac{2x^2}{2x}=x
(*)$.
Vô hình chung bạn đã tự loại bỏ nghiệm $(0;0;0)$ của hệ do ĐKXĐ của 2 phân thức không giống nhau.
Kể cả khi bạn thay $x=y=z$ vào thì hệ có nghiệm $(1;1;1);(0;0;0)$ nhưng chính nghiệm $(0;0;0)$ lại không thoả mãn $(*)$ .
Mình diễn đạt hơi kém, mong bạn hiểu

nhầm rồi b ơi.lúc đầu mình định áp dụng dưới mẫu.nhưng lại phải xét x=y=z=0 nên minh áp dụng cho tử.
$\frac{2x.x}{1 + x^{2}} \leq \frac{x.(1+x^{2})}{1 + x^{2}}= x$
đc chưa bạn...

[Spin9x]

Câu này cũng không quá khó:
Áp dụng BĐT : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ ta có:
$\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+d}\geq \frac{4}{\frac{a+b+c+d}{a}}=\frac{4a}{a+b+c+d}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế ta có:
$VT\geq \frac{4(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=4(Q.E.D)$

Câu này có thể làm cách khác nhưng áp dụng BĐT tương tự bằng cách

Nhóm hạng tử (1,3) ; (2,4) ta có:
$(a+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d})+(b+d)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d})$