Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25/08/2012
Câu I:
1) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ sao cho:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{1}{2}$$
2) Tìm các cặp nguyên dương $(x;y)$ sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$
Câu II:
1) Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2x^2}{1+x^2}=y\\ \dfrac{2y^2}{1+y^2}=z\\ \dfrac{2z^2}{1+z^2}=x\end{matrix}\right.$$
2) Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\ge 4$$
Câu III: Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. $AD$ là đường cao của $\Delta ABC$ với $D$ thuộc đoạn $BC$. Đường tròn $(\omega)$ tâm $A$ đi qua $D$ cắt $(O)$ tại $P,Q$. Gọi $PQ$ giao $AD$ tại $G$. Gọi $AO$ giao $BC$ tại $E$ và $K$ là trung điểm của $AD$.
a) Chứng minh rằng: $GE// OK$
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng $HM,GE,OD$ đồng quy
Câu IV: Có $50$ người ngồi xung quanh một bàn tròn.
a) Biết rằng trong đó có $25$ nam và $25$ nữ. Chứng minh rằng trong mọi cách sắp xếp ta luôn tìm được một người ngồi giữa hai người nữ
b) Giả sử rằng mỗi người trong họ đều có không quá $24$ người mà mình không thích (quy ước: $A$ không thích $B$ thì $B$ cũng không thích $A$). Chứng minh rằng ta có thể xếp được $50$ người này xung quanh bàn tròn mà không ai ngồi cạnh người mình không thích
----------------------HẾT----------------------
Tình hình là rất tình hình, chắc mình trượt thẳng cẳng rồi