Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix}
x^{5}-x^{4}+2x^{2}y=2\\
y^{5}-y^{4}+2y^{2}z=2\\
z^{5}-z^{4}+2z^{2}x=2
\end{matrix}\right.$

[Crystal]

Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix}
x^{5}-x^{4}+2x^{2}y=2\\
y^{5}-y^{4}+2y^{2}z=2\\
z^{5}-z^{4}+2z^{2}x=2
\end{matrix}\right.$

Ta sẽ chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;1;1} \right)$

Nếu $x > 1$ thì ${x^5} - {x^4} = {x^4}\left( {x - 1} \right) > 0 \Rightarrow 2{x^2}y < 2 \Rightarrow y < \frac{1}{{{x^2}}} < 1$

\[ \Leftrightarrow y - 1 < 0 \Rightarrow {y^5} - {y^4} = {y^4}\left( {y - 1} \right) < 0\]
\[ \Rightarrow 2{y^2}z > 2 \Leftrightarrow z > \frac{1}{{{y^2}}} > 1 \Rightarrow {z^5} - {z^4} = {z^4}\left( {z - 1} \right) > 0\]
\[ \Rightarrow 2{z^2}x < 2 \Leftrightarrow x < \frac{1}{{{z^2}}} < 1\,\,\,\left(\text {mâu thuẫn} \right)\]
Lập luận tương tự cho $x < 1$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;1;1} \right)$