1. Cho f(x) = a.x2 + bx + c . Giả sử |a| + |b| + |c| > 17. Chứng minh tồn tại x thuộc [0;1] và |f(x)| >1
2. Có thể chia các số tự nhiên từ 1 đến 21 thành các nhóm đối một rời nhau sao cho trong mỗi nhóm số lớn nhất bằng tổng các số còn lại hay không ?
3. Có thể tìm được hay không 5 số nguyên dạng 4n(8k +7) với n,k là số nguyên dương không phân tích được thành tổng 3 số chính phương không đồng thời bằng 0
4. Cho f(x) là đa thức hệ số nguyên bậc n thỏa mãn : tồn tại 4 nguyên x1,x2,...,x4 đôi một khác nhau : f(xi)= 2 với i = 1,2,...,4. Chứng minh rằng f(x) không thuộc {1;3;5;7;9}
5. Chứng minh rằng không tồn tại đa thức bậc hai f(x) thỏa : f(x) thuộc Z => f(x+1) thuộc Z
6. Cho Pn là số nguyên tố thứ n. Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) hệ số nguyên sao cho f(1) = p1, f(2) = p2 , f(3) = p3
7. Chứng minh rằng : nếu 2k +1 là số nguyên tố với k là số tự nhiên thì k = 0 hoặc k = 2n với n là số tự nhiên
8. Kí hiệu số nguyên tố thứ i là pi. Chứng minh pn ≤ (2^2)n-1
9. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m ≤ n! ( n>1 cho trước ) bao giờ cũng biểu diễn thành tổng của không nhiều hơn n số hạng mà mỗi số hạng là ước của n !
10. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n>11 đều có thể viết dưới dạng n=4x + 5y với x,y là các số tự nhiên
11. Cho phương trình x3 - 3xy2 + y3 = n với n là số nguyên dương cho trước.
a) CMR nếu phương trình có nghiệm thì không có nghiệm duy nhất
b) Giải với n=2005
12. Cho các số nguyên dương a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau. CMR phương trình : xbc + yca + zab = 2abc - ab - bc - ca không có nghiệm tự nhiên
13. Chứng minh với mọi số nguyên a,b,c luôn tìm được số nguyên dương n sao cho số f(n) = n3 + an2 + bn + c không phải là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 25-08-2012 - 19:53
