Cho hai dãy số dương $(u_n)$, $(v_n)$ xác đinh bởi công thức:
$\left\{\begin{matrix} u_1=v_1=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ u_{n+1}=\frac{u_n}{4v_{n+1}^{2}-1}, v_{n+1}=\frac{v_n}{4u_{n+1}^{2}-1},n=1,2,3,... \end{matrix}\right.$
a) Tính $u_{2011}^{2}+v_{2011}^{2}$.
b) Tính $\lim{u_{n}}$ và $v_{n}$
a) Ta sẽ chứng minh quy nạp: $u_n^2+v_n^2=1$ (1)
Với $n=1$ ta có (1) đúng.
Gs (1) đúng với $n=k$ thì $u_k^2+v_k^2=1$
Thay vào công thức xác định dãy, ta có:
$[u_{k+1}(4v_{k+1}^2-1)]^2+[v_{k+1}(4u_{k+1}^2-1)]^2=1$
$\Leftrightarrow (u_{k+1}^2+v_{k+1}^2-1)(16u_{k+1}^2v_{k+1}^2+1)=0$
Từ đây suy ra (1) đúng với $n=k+1$
Vậy (1) đúng, suy ra đpcm.
b) Đề câu này bạn có chép lỗi công thức xđ dãy ko vậy?
Mình thử số công thức xđ dãy thấy đây là dãy hằng @@
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 25-08-2012 - 22:28
