Chủ đề này có 7 trả lời

[sakura139]

Cho $a,b,c \ \epsilon (0;1)$. CM ít nhất 1 trong 3 mệnh đề sau sai:
$a(1-b)<\frac{1}{4}$

$b(1-c)<\frac{1}{4}$

$c(1-a)<\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sakura139: 26-08-2012 - 23:35

[Crystal]

Cho $a,b,c \ \epsilon (0;1)$. CM ít nhất 1 trong 3 mệnh đề sau sai:
$a(1-b)<\frac{1}{4}$

$b(1-c)<\frac{1}{4}$

$c(1-a)<\frac{1}{4}$

Dùng phản chứng.

Giả sử không có mệnh đề nào sai. Lập luận để đi đến điều vô lí (trái với giả thiết)

Suy ra điều giả sử sai.

Suy ra điều cần chứng minh.

[henry0905]

Cho $a,b,c \ \epsilon (0;1)$. CM ít nhất 1 trong 3 mệnh đề sau sai:
$a(1-b)<\frac{1}{4}$

$b(1-c)<\frac{1}{4}$

$c(1-a)<\frac{1}{4}$

Mình xin được trình bày kĩ:
Giả sử
$a(1-b)>\frac{1}{4}$

$b(1-c)>\frac{1}{4}$

$c(1-a)>\frac{1}{4}$
Nhân lại ta được
$a(1-a).b(1-b).c(1-c)> \frac{1}{64}$ (*)
Mà $a-a^{2}=-(a^{2}-a+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}=-(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{4}$
Chứng minh tương tự ta được $a(1-a).b(1-b).c(1-c)\leq \frac{1}{64}$
Mâu thuẫn với (*)
Vậy có ít nhất 1 trong 3 mệnh đề trên đúng.
P/s: Cách này chỉ đúng cho đề bài:
Cho $a,b,c \ \epsilon (0;1)$. CM ít nhất 1 trong 3 mệnh đề sau sai:
$a(1-b)>\frac{1}{4}$

$b(1-c)>\frac{1}{4}$

$c(1-a)>\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 27-08-2012 - 00:21

[Crystal]

Mình xin được trình bày kĩ:
Giả sử
$a(1-b)>\frac{1}{4}$

$b(1-c)>\frac{1}{4}$

$c(1-a)>\frac{1}{4}$
.....

Cách chứng minh của em là chứng minh có ít nhất 1 trong 3 mệnh đề đúng!

Em giả sử cả 3 đều sai mà.

[henry0905]

Cách chứng minh của em là chứng minh có ít nhất 1 trong 3 mệnh đề đúng!

Em giả sử cả 3 đều sai mà.

Em đã bổ sung thêm rồi anh, vậy giờ mình chứng minh không thể cả ba mệnh đề cùng sai.

[Crystal]

Em đã bổ sung thêm rồi anh, vậy giờ mình chứng minh không thể cả ba mệnh đề cùng sai.

Lời giải của em chỉ đúng với bài toán em đưa ra.

Theo bài toán gốc thì ta giả sử tất cả 3 mệnh đề đều đúng em à.

Khi đó dẫn đến điều vô lí. Sai với điều giả sử, nên cả 3 không thể cùng đúng, và sẽ có ít nhất một mệnh đề sai.

[henry0905]

Lời giải của em chỉ đúng với bài toán em đưa ra.

Theo bài toán gốc thì ta giả sử tất cả 3 mệnh đề đều đúng em à.

Khi đó dẫn đến điều vô lí. Sai với điều giả sử, nên cả 3 không thể cùng đúng, và sẽ có ít nhất một mệnh đề sai.

Hên quá anh ơi, cái bài này sai đề rồi
Ta lấy a=0.75, b=0.8, c=0.85
a(1-b)=0.15<0.25
b(1-c)=0.12<0.25
c(1-a)=0.2125<0.25
Vậy cả 3 mệnh đề đều đúng
Suy ra đề sai, còn đề đúng thì đã chứng minh trên.

[Crystal]

@ henry0905: Bắt tay vào làm thì đề sai rồi. Phải là thế này nhỉ!

Cho $a,b,c \ \epsilon (0;1)$. CM ít nhất 1 trong 3 mệnh đề sau đúng:

$a(1-b)<\frac{1}{4}$

$b(1-c)<\frac{1}{4}$

$c(1-a)<\frac{1}{4}$

Lời giải như em đã trình bày ở trên.